专题对点练7导数与不等式及参数范围1
已知函数f(x)=12x2+(1-a)x-alnx
(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a0,则由f'(x)=0得x=a,当00,此时f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增
(2)不妨设x1≤x2,而a0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1
当0ax0+1
当a≤0时,取x0=❑√5-12,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1
综上,a的取值范围是[1,+∞)
解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex
所以f'(2)=(2a-1)e2
由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12
(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex
若a>1,则当x∈(1a,1)时,f'(x)0
所以1不是f(x)的极小值点
综上可知,a的取值范围是(1,+∞)
(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)ex
当a=0时,令f'(x)=0,得x=1
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意
当a>0时,令f'(x)=0,得x1=1a,x2=1
①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2ex≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不合题意
②当x1>x2,即00;当x∈(-12a,+∞)时,f'(x)
