第三节等比数列及其前n项和A组基础题组1.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1=()A.1B.±1C.2D.±22.(2016北京海淀期末)已知数列{an}是公比为2的等比数列,且满足-a3=0,则a4的值为()A.2B.4C.8D.163.等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=()A.31B.36C.42D.484.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn=()A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-15.(2018北京朝阳期中)已知数列{an}为等比数列,a1=1,a4=8,则{an}的前5项和S5=.6.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S3,S4成等差数列,则数列{an}的公比为.7.(2014北京石景山统测)在等比数列{an}中,a1=2,a4=16,则数列{an}的通项公式为an=,设bn=log2an,则数列{bn}的前n项和Sn=.8.(2017北京东城二模)在等差数列{an}中,a1=-2,a12=20.(1)求通项an;(2)若bn=,求数列{}的前n项和.B组提升题组9.(2016北京东城期末)纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成的一定尺寸.现在我国采用国际标准,规定以A0,A1,A2,B1,B2等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列,其中An(n∈N,n≤8)系列的幅面规格如下:①A0,A1,A2,…,A8规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为x∶y=1∶;②将A0纸张沿长度方向对开成两等份,便成为A1规格,将A1纸张沿长度方向对开成两等份,便成为A2规格,……,如此对开至A8规格.现有A0,A1,A2,…,A8纸各一张.若A4纸的宽度为2dm,则A0纸的面积为dm2;这9张纸的面积之和等于dm2.10.(2017北京海淀期中)已知{an}是等比数列,a2=2且公比q>0,-2,a1,a3成等差数列.(1)求q的值;(2)已知bn=anan+2-λnan+1(n=1,2,3,…),设Sn是数列{bn}的前n项和.若S1>S2,且Sk2016?若存在,求符合条件的n的最小值;若不存在,说明理由.答案精解精析A组基础题组1.A因为数列{an}是等比数列,所以a2a3a4==8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,则a1==1,故选A.2.C{an}为等比数列,公比为2,由-a3=0,得22-=0,∴a4=8.3.A由等比数列的性质,得a3a5=a2a6=64,于是由且公比q>1,得a3=4,a5=16,所以解得所以S5==31,故选A.4.C设{an}的公比为q,则an=2qn-1,因为数列{an+1}也是等比数列,所以(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)⇒+2an+1=anan+2+an+an+2⇒an+an+2=2an+1⇒an(1+q2-2q)=0⇒q=1,即an=2,所以Sn=2n,故选C.5.答案31解析设等比数列{an}的公比为q,则a1q3=q3=8,∴q=2.∴S5==25-1=31.6.答案解析设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),∵S1,S3,S4成等差数列,∴2S3=S1+S4,易知q=1时上式不成立,∴q≠1,∴2·=a1+,化简得q3-2q2+1=0,即(q-1)(q2-q-1)=0,又q≠1,且q>0,∴q=.7.答案2n;解析设公比为q,由题意知q3==8,∴q=2,又a1=2,∴an=a1qn-1=2×2n-1=2n,∴bn=log2an=n,故Sn=1+2+…+n=.8.解析(1)设数列{an}的公差为d.因为an=-2+(n-1)d,a12=20,所以a12=-2+11d=20.于是d=2,所以an=2n-4.(2)因为an=2n-4,所以a1+a2+…+an==n(n-3).于是bn==n-3,令cn=,则cn=3n-3.显然数列{cn}是等比数列,且c1=3-2,公比q=3,所以数列{}的前n项和为=.B组提升题组9.答案64;解析依题意,A0,A1,A2,…,A8纸的面积构成以为公比的等比数列.因为A4纸的宽度为2dm,所以其长度为2dm,故面积为4dm2,所以A0纸的面积为64dm2,这9张纸的面积之和等于=dm2.10.解析(1)∵-2,a1,a3成等差数列,∴2a1=-2+a3,①∵{an}是等比数列,a2=2,q>0,∴a3=a2q=2q,a1==,代入①整理得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),∴q=2.(2)由(1)知an=2n-1,bn=anan+2-λnan+1=4n-λn2n,∵S1>S2,∴S2-S1<0,即b2<0,∴42-2λ·22<0,解得λ>2,∵Sk0(k=2,3,4…)恒成立,∵bk+1=4k+1-λ(k+1)2k+1,∴λ<,设ck=(k≥2,k∈N*),只需要λ<(ck)min(k≥2,k∈N*)即可,∵=×=>1,∴数列{ck}在k≥2且k∈N*上单调递增,∴(ck)min=c2==,∴λ<,又λ>2,∴λ∈.11.解析(1)因为{an}是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1.因为{bn}是首项为1,公比为q的等比数列,所以bn=qn-1.所以cn=an+bn=2n-1+qn-1.因为{cn}是等差数列,所以2c2=c1+c3,即2(3+q)=2+5+q2,解得q=1.经检验,q=1时,cn=2n,{cn}是等差数列.(2)由(1)知cn=2n-1+qn-1(n=1,2,…).所以Sn==+=+=n2+.当q=1时,Sn=n2+n.当q≠1时,Sn=n2+.综上,Sn=12.解析(1)设数列{an}的公比为q,因为S2+a1=0,所以2a1+a1q=0.因为a1≠0,所以q=-2,又因为a3=a1q2=12,所以a1=3,所以an=3×(-2)n-1.(2)因为Sn==1-(-2)n.令Sn>2016,即1-(-2)n>2016,即(-2)n<-2015.当n为偶数时,原不等式无解;当n为奇数时,原不等式等价于2n>2015,解得n≥11.所以满足Sn>2016的正整数n的最小值为11.
