选修1-23.2.1~3.2.2常数与幂函数的导数导数公式表一、选择题1．抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程是()A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0[答案]A[解析]∵y′＝x，y′|x＝2＝×2＝1，∴抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线斜率为1，方程为x－y－1＝0.2．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是()A．1B．0C．2D.[答案]D[解析]∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.3．若y＝sinx，则y′|x＝＝()A.B．－C.D．－[答案]A[解析]y′＝cosx，y′|x＝＝cos＝.4.lim表示()A．曲线y＝x2的斜率B．曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率C．曲线y＝－x2的斜率D．曲线y＝－x2在(1，－1)处的斜率[答案]B[解析]由导数的意义可知，lim表示曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率．5．若y＝cos，则y′＝()A．－B．－C．0D.[答案]C[解析]常数函数的导数为0.6．下列命题中正确的是()①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx②若f′(x)＝0，则f(x)＝11③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosxA．①B．②C．③D．①②③[答案]C[解析]当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，当f(x)＝2时，f′(x)＝0.7．正弦函数y＝sinx上切线斜率等于的点为()A．(，)B．(－，－)或(，)C．(2kπ＋，)(k∈Z)D．(2kπ－，－)或(2kπ＋，)(k∈Z)[答案]D[解析]由(sinx)′＝cosx＝得x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)．所以切点坐标为(2kπ－，－)或(2kπ＋，)(k∈Z)．8．给出下列函数(1)y＝(sinx)′＋(cosx)′(2)y＝(sinx)′＋cosx(3)y＝sinx＋(cosx)′(4)y＝(sinx)′·(cosx)′其中值域不是[－，]的函数有多少个()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析](1)y＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx∈[－，]．(2)y＝(sinx)′＋cosx＝2cosx∈[－2,2]．(3)y＝sinx＋(cosx)′＝sinx－sinx＝0.(4)y＝(sinx)′·(cosx)′＝cosx·(－sinx)＝－sin2x∈.9．下列结论正确的是()A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝，则y′＝－D．若y＝，则y′＝[答案]C[解析]∵(cosx)′＝－sinx，(sinx)′＝cosx，()′＝(x)′＝·x－1＝，∴A、B、D均不正确．而′＝(x－1)′＝－1×x－1－1＝－，故C正确．10．已知f(x)＝x3，则f(x)的斜率为1的切线有()A．1条B．2条C．3条2D．不能确定[答案]B[解析]设切点为(x0，x)，由(x3)′＝3x2得在(x0，x)处的切线斜率为3x，由3x＝1得x0＝±，故切点为或，所以有2条．二、填空题11．若函数y＝cost，则y′|t＝6π＝____________.[答案]0[解析]y′＝(cost)′＝－sint，y′|t＝6π＝－sin6π＝0.12．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是____________________________．[答案]y＝x－1[解析]∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，所求切线方程为：y＝x－1.13．函数f(x)＝，则f′(x)＝________.[答案]x－[解析]∵f(x)＝＝x，∴f′(x)＝x－.14．曲线y＝2x4＋3x的斜率等于－5的切线的方程为____________．[答案]5x＋y＋6＝0[解析]y′＝8x3＋3，令8x3＋3＝－5，∴x＝－1，y＝－1，∴切点为(－1，－1)，切线方程为5x＋y＋6＝0.三、解答题15．求曲线y＝sinx在点A(，)的切线方程．[解析]∵y＝sinx，∴y′＝cosx，∴y′|x＝＝cos＝，∴k＝.∴切线方程为y－＝(x－)，化简得6x－12y＋6－π＝0.16．求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．[解析]∵点不在抛物线y＝x2上，∴设切点为(x0，y0)，由题意，得切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x0，切线方程为y－＝x0(x－4)，又点(x0，y0)在切线上，∴y0－＝x0(x0－4)，又点(x0，y0)又在抛物线y＝x2上，∴y0＝x，∴x－＝x－2x0，解得x0＝1或7，∴切点为或，所求的切线方程为：2x－4y－1＝0或14x－4y－49＝0.17．设点P是y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．[解析]根据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，3∴由题意得ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为.18．(2010·陕西文，21(1))已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．[解析]本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题及解决问题的能力．f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由已知得解得a＝，x＝e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，∴切线的方程为y－e＝(x－e2)．4
