选修1-23.1.3导数的四则运算法则一、选择题1．函数f(x)＝的导数是()A.B.C.D.[答案]C[解析]f′(x)＝＝.2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()A．abB．－a(a－b)C．0D．a－b[答案]D[解析]∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab∴y′＝2x－(a＋b)，y′|x＝a＝2a－a－b＝a－b.3．函数y＝的导数是()A．－B．－sinxC．－D．－[答案]C[解析]y′＝′＝＝.4．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.B.C.D.[答案]D[解析]f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝.5．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]B[解析]设二次函数的方程y＝ax2＋bx＋c由图知，a<0，b＝0，c>01所以其方程可表示为y＝ax2＋c.而y′＝2ax，由于a<0，所以B正确．6．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3)2D．2(2＋x3)·3x[答案]A[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.7．f(x)＝ax3＋x2＋3，若f′(1)＝5，则a的值为()A．－1B．2C．－2D．1[答案]D[解析]∵f′(x)＝3ax2＋2x，f′(1)＝3a＋2＝5，∴a＝1.8．若物体的运动方程是s(t)＝tsint，则物体在t＝2时的瞬时速度为()A．cos2＋2sin2B．2sin2－cos2C．sin2＋2cos2D．2cos2－sin2[答案]C[解析]∵s′(t)＝t′·sint＋t(sint)′＝sint＋tcost，∴s′(2)＝sin2＋2cos2.9．下列函数在点x＝0处没有切线的是()A．y＝3x2＋cosxB．y＝xsinxC．y＝＋2xD．y＝[答案]C[解析]∵函数y＝＋2x在x＝0处不可导，∴函数y＝＋2x在点x＝0处没有切线．10．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝，则y′＝－C．若y＝－，则y′＝－D．若y＝3x，则y′|x＝1＝3[答案]B[解析]y＝，y′＝－.二、填空题11．若函数f(x)＝，则f′(π)________________．2[答案][解析]f′(x)＝＝，∴f′(π)＝＝.12．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．[答案][解析]∵y′|x＝1＝3x2|x＝1＝3，∴切线为y＝3x－2，如右图所示．A(，0)，B(2,4)，∴S△＝(2－)×4＝.13．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．[答案]4x－4y－1＝0[解析]y＝x2的导数为y′＝2x.设切点M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0.∵PQ的斜率k＝＝1，又切线平行于PQ，∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1.∴x0＝.∴切点M为(，)．∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.14．(2009·福建文，15)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0)[解析]本小题主要考查导数、导数的几何意义、不等式等基础知识．f′(x)＝2ax＋＝0有解(x>0)，即2ax2＝－1有解，∴a<0.三、解答题15．已知曲线y＝x3－3x2＋2x－9在x＝x0处的导数为11，求x0的值．[解析]∵y′＝(x3－3x2＋2x－9)′＝3x2－6x＋2，∴y′|x＝x0＝3x－6x0＋2.由题知3x－6x0＋2＝11，∴3x－6x0－9＝0，x－2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3.16．求下列函数的导数．(1)y＝tanx；(2)y＝xsinx－.[解析](1)∵y＝tanx＝，∴y′＝()′＝＝＝.(2)y′＝(xsinx)′－()′＝sinx＋xcosx－.17．已知曲线y＝上两点P(2，－1)、Q(－1，)．求：(1)曲线在点P处，点Q处的切线斜率；(2)曲线在点P、Q处的切线方程．3[解析]∵－1＝，∴t＝1，∴y＝，∴y′＝.(1)当P为切点时，k1＝y′|x＝2＝1，当Q为切点时，k2＝y′|x＝－1＝.(2)当P为切点时，方程为x－y－3＝0；当Q为切点时，切线方程为x－4y＋3＝0.18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．[解析](1)y′＝2x＋1，直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.所以直线l2的方程为y＝－x－.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(，－)．l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(－，0)，所以，所求三角形的面积S＝××＝.4
