选修1-23.1.3导数的四则运算法则一、选择题1.函数f(x)=的导数是()A.B.C.D.[答案]C[解析]f′(x)==.2.函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为()A.abB.-a(a-b)C.0D.a-b[答案]D[解析]∵y=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab∴y′=2x-(a+b),y′|x=a=2a-a-b=a-b.3.函数y=的导数是()A.-B.-sinxC.-D.-[答案]C[解析]y′=′==.4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是()A.B.C.D.[答案]D[解析]f′(x)=3ax2+6x,∵f′(-1)=3a-6,∴3a-6=4,∴a=.5.已知二次函数f(x)的图象如图所示,则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]B[解析]设二次函数的方程y=ax2+bx+c由图知,a<0,b=0,c>01所以其方程可表示为y=ax2+c.而y′=2ax,由于a<0,所以B正确.6.函数y=(2+x3)2的导数为()A.6x5+12x2B.4+2x3C.2(2+x3)2D.2(2+x3)·3x[答案]A[解析]∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6,∴y′=6x5+12x2.7.f(x)=ax3+x2+3,若f′(1)=5,则a的值为()A.-1B.2C.-2D.1[答案]D[解析]∵f′(x)=3ax2+2x,f′(1)=3a+2=5,∴a=1.8.若物体的运动方程是s(t)=tsint,则物体在t=2时的瞬时速度为()A.cos2+2sin2B.2sin2-cos2C.sin2+2cos2D.2cos2-sin2[答案]C[解析]∵s′(t)=t′·sint+t(sint)′=sint+tcost,∴s′(2)=sin2+2cos2.9.下列函数在点x=0处没有切线的是()A.y=3x2+cosxB.y=xsinxC.y=+2xD.y=[答案]C[解析]∵函数y=+2x在x=0处不可导,∴函数y=+2x在点x=0处没有切线.10.下列结论不正确的是()A.若y=3,则y′=0B.若y=,则y′=-C.若y=-,则y′=-D.若y=3x,则y′|x=1=3[答案]B[解析]y=,y′=-.二、填空题11.若函数f(x)=,则f′(π)________________.2[答案][解析]f′(x)==,∴f′(π)==.12.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为________.[答案][解析]∵y′|x=1=3x2|x=1=3,∴切线为y=3x-2,如右图所示.A(,0),B(2,4),∴S△=(2-)×4=.13.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线f(x)=x2上的两点,则与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程是________.[答案]4x-4y-1=0[解析]y=x2的导数为y′=2x.设切点M(x0,y0),则y′|x=x0=2x0.∵PQ的斜率k==1,又切线平行于PQ,∴k=y′|x=x0=2x0=1.∴x0=.∴切点M为(,).∴切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.14.(2009·福建文,15)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.[答案](-∞,0)[解析]本小题主要考查导数、导数的几何意义、不等式等基础知识.f′(x)=2ax+=0有解(x>0),即2ax2=-1有解,∴a<0.三、解答题15.已知曲线y=x3-3x2+2x-9在x=x0处的导数为11,求x0的值.[解析]∵y′=(x3-3x2+2x-9)′=3x2-6x+2,∴y′|x=x0=3x-6x0+2.由题知3x-6x0+2=11,∴3x-6x0-9=0,x-2x0-3=0,∴x0=-1或x0=3.16.求下列函数的导数.(1)y=tanx;(2)y=xsinx-.[解析](1)∵y=tanx=,∴y′=()′===.(2)y′=(xsinx)′-()′=sinx+xcosx-.17.已知曲线y=上两点P(2,-1)、Q(-1,).求:(1)曲线在点P处,点Q处的切线斜率;(2)曲线在点P、Q处的切线方程.3[解析]∵-1=,∴t=1,∴y=,∴y′=.(1)当P为切点时,k1=y′|x=2=1,当Q为切点时,k2=y′|x=-1=.(2)当P为切点时,方程为x-y-3=0;当Q为切点时,切线方程为x-4y+3=0.18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.[解析](1)y′=2x+1,直线l1的方程为y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.所以直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0),所以,所求三角形的面积S=××=.4