4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值课后篇巩固提升基础达标练1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)等于()A.32B.2C.52D.3解析E(X)=1×35+2×310+3×110=1510=32.答案A2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于()A.35B.815C.1415D.1解析X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,P(X=2)=C32C102=115,所以E(X)=1×715+2×115=35.答案A3.已知随机变量X的分布列是X4a910P0.0.b0.312若E(X)=7.5,则a等于()A.5B.6C.7D.8解析因为E(X)=4×0.3+0.1a+9b+2=7.5,又0.3+0.1+b+0.2=1,所以a=7,b=0.4.答案C4.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.920解析由题意,得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,解得x=118,所以,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×118=209.答案C5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的数学期望E(X)等于()A.126125B.65C.168125D.75解析根据题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125,所以E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65.答案B6.若从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个数,则这两个数的乘积的数学期望是.解析从1,2,3,4,5中任取不同的两个数,其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每个值的概率都是110,所以E(X)=110×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.答案8.57.已知随机变量X等可能地取1,2,3,…,n,若P(X<4)=0.3,则E(X)等于.解析根据题意,X取1,2,3,…,n的概率都是1n,则P(X<4)=3n=0.3,解得n=10,则E(X)=1×110+2×110+…+10×110=5.5.答案5.58.设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的数学期望E(X)=3,则a+b=.解析由题意可得随机变量X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又E(X)=3,所以1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.联立以上两式解得a=110,b=0.所以a+b=110.答案1109.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元;停在B区域返券30元;停在C区域不返券.例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.(1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;(2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为X元.求随机变量X的分布列和数学期望.解设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C,则P(A)=16,P(B)=13,P(C)=12.(1)若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域.所以所求概率为P(A)+P(B)=16+13=12,即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是12.(2)由题意得该顾客可转动转盘2次.随机变量X的可能值为0,30,60,90,120.P(X=0)=12×12=14,P(X=30)=12×13×2=13,P(X=60)=12×16×2+13×13=518,P(X=90)=13×16×2=19,P(X=120)=16×16=136.所以,随机变量X的分布列为X0306090120P141351819136其数学期望E(X)=0×14+30×13+60×518+90×19+120×136=40.10.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”.该城市某出租车公司共200名司机,他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选两人,设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解由题图可知,参加送考次数为1次、2次、3次的司机人数分别为20,100,80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为1×20+2×100+3×80200=2.3.(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人参加1次,另一人参加2次送考”为事件A,“这两人中一人参加2次,另一人参加3次送考”为事件B,“这两人中一人参加1次,另一人参加3次送考”为事件C,“这两人参加次数相同”为事件D.则P(X=1)=P(A)+P(B)=C201C1001C2002+C1001C801C2002=100199,P(X=2)=P(C)=C201C801C2002=16199,P(X=0...
