3.1.3空间向量基本定理[基础达标]在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．解析：命题①②是真命题，命题③是假命题．答案：2若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是________．(填序号)①a，2b，3c；②a＋2b，2b＋3c，3a－9c；③a＋b＋c，b，c.解析：在②中3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，由共面定理知，此三个向量共面．答案：②下列命题中的真命题是__________．(填序号)①空间中的任何一个向量都可用a、b、c表示；②空间中的任何一个向量都可用基向量a、b、c表示；③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．解析：共面向量定理指出，平面内任一向量都可以用平面内不共线的两个向量线性表示，而命题④中缺少“不共线”这一重要条件，故为假命题．空间向量基本定理告诉我们空间中任一向量都可用不共面的三个向量线性表示．①中没有强调“不共面”，故为假命题．②③两命题为真命题．答案：②③已知平行六面体OABC－O′A′B′C′中，OA＝a，OO′＝b，OC＝c，D是四边形OABC的中心，则可用a，b，c表示OD＝__________.解析：结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a、b、c表示OD.仔细观察会发现OD与OA、OC是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．答案：a＋c在空间中，把△ABC平移到△A′B′C′，连结对应顶点及BC′，设AA′＝a，AB＝b，AC＝c，M是BC′的中点，则AM＝________．解析：取B′C′中点记为N，连结MN，A′N，则AM＝AA′＋A′N＋NM＝a＋(A′B′＋A′C′)＋B′B＝a＋(b＋c)－a＝(a＋b＋c)．答案：(a＋b＋c)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，若AO＝xAB＋yBC＋zCC1，则x＋y＋z＝________．解析：AO＝AC1＝(AB＋BC＋CC1)．答案：从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ＝a，PR＝b，PS＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则用基底{a，b，c}表示向量GH，得GH＝________．解析：GH＝GQ＋QH＝GQ＋QP＋PH＝GQ＋QP＋(PR＋PS)＝a－a＋(b＋c)＝－a＋(b＋c)．答案：－a＋(b＋c)已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是底面A′B′C′D′的中心，a＝AA′，b＝AB，c1＝AD，AE＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为__________．解析：由题意知AA′，AB，AD为不共面向量，而AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝AA′＋AB＋AD＝2a＋b＋c，∴x＝2，y＝1，z＝.答案：2，1，如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG∶GA′＝2∶1，设CD＝a，CB＝b，CC′＝c，试用向量a，b，c表示向量CA、CA′、CM、CG.解：CA＝CB＋CD＝a＋b；CA′＝CA＋CC′＝a＋b＋c；CM＝CA＋AM＝CA＋CC′＝a＋b＋c；CG＝CA′＝(a＋b＋c)．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，AB＝i，AD＝j，AP＝k，试用基底{i，j，k}表示PG、BG、AG.解：如图所示，连结PG.并延长交CD于E则E为CD中点，①PG＝PE＝×(PC＋PD)＝(i＋j－k＋j－k)＝i＋j－k.②BG＝BP＋PG＝k－i＋i＋j－k＝－i＋j＋k.③AG＝AB＋BG＝i＋(－i＋j＋k)＝i＋j＋k.[能力提升]如图所示，M、N分别是四面体O－ABC的棱OA、BC的中点，2MQ＝QN，用向量OA、OB、OC表示OQ，则OQ＝________．解析：OQ＝OM＋MQ＝OA＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋(ON－OA)＝OA＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC.答案：OA＋OB＋OC已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为__________．解析：由题意，a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d＝αa＋βb＋γc.∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β...
