【代数十讲】不等式例讲（B）答案及讲稿陶平生基本内容与方法：柯西不等式，平均不等式，排序不等式；变形配凑法，数形结合法，三角代换法，局部放缩法，化归法，归纳法，调整法．、设正实数满足：，求的最小值．（，国家集训队测验题）解：将条件式写作：，又由，得，取等号当且仅当，于是，．、设，满足，求证：．（，国家集训队测验题）证：据，以及柯西不等式，，于是．、在锐角三角形中，证明：．（年中国国家集训队测试题）我们先证明三角形的以下恒等式：中，…①证：取余切代换，令，则，且，，…②，1则，同理有，；因此．由于为锐角三角形，则，所以．、对于每个正整数，证明：．证：令，则，而，以下考虑的情况；注意…①，由于，所以…②，当时，由于，2所以…③，由此，…④，又因，为证，只要证，…⑤，即要证，，只须证，即，也即，此为显然．因此所证结论成立．证二：注意到时，，则．、设，，且，求的最大值．解：暂时固定，有为定值，需使卷积取最大，由于为降序，而为升序，故由排序不等式，仅当时，卷积取得最大值，此时，，3于是，欲使上式取等号，当且仅当，这时．显然有，即合于条件，因此的最大值为．、设为正整数，对于，证明幂平均公式：．证：设，注意当时，由平均不等式可得，分别取，并将这个不等式相加得，所以，即有．、设，满足：，证明：．试将其推广到个元的情况．证：由条件得，，由平均不等式，，即，其余诸式情况类似；4记，，则；由于，同理有，四式相加得…①；又由幂平均不等式，，即，只要证，…②，即，此为显然．（因），于是所证结论成立．本题的一般形式为：设，满足：，则有．证明如下：由于，其余诸式可类似得到；记，则，所以，即；另一方面，由幂平均不等式，即；只要证，即，而这由5立即得到．、设，证明：证：注意左边的每一加项皆为个分式之积，于是将右边的加项也表成此形式，即有今对以上个等式右端分别使用平均不等式，得到将诸式相加，立得所证不等式成立．、设；证明：．6证：记，则是的一个线性函数，为证在区间上非负，只要证在区间两端点的值非负即可；当，；当，所证式化为，，由于相加得，．、设是互异实数，记，，证明：．证：不妨设，，则，，又设，则当时，，而当时，．当时，有，（这是由于，，而，故）因此，…①当时，有7，（这是由于，，而，所以，）因此，…②据①②可知，对一切，均有…③记，则③化为，，因此．、设为非负实数，满足，证明：．（江西省预赛）证明：为使所证式有意义，三数中至多有一个为；据对称性，不妨设，则；、当时，条件式成为，，，而，只要证，，即，也即，此为显然；取等号当且仅当．、再证，对所有满足的非负实数，皆有8．显然，三数中至多有一个为，据对称性，仍设，则，令，为锐角．今以为内角，构作，则，于是，且由知，；于是，即是一个非钝角三角形．下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设，记，据知，．今证明，．即…①．即要证…②先证…③，即证，即，此即，也即，即，此为显然．由于在中，，则；而在中，，因此②式成为…④，9只要证，…⑤，即证，注意③式以及，只要证，即，也即…⑥由于三角形的最大角满足：，而，则，所以，故⑥成立，因此⑤得证．、在非钝角三角形中，证明不等式：．（国家队集训试题）证：令则①，且而同理有，，代入所证式，即要证②据对称性，不妨设，此时ⅰ）首先证，当时②式成立．此时，条件①成为，③待证的结论②式成为④此式等价于即⑤由③，，，故⑤成为10，即，也即此为显然。（因为据③有），故④得证，取等号当且仅当，或，即为等腰直角三角形或正三角形。ⅱ）再考虑一般非钝角三角形，固定最大角，将⊿调整为以最大角为顶角的等腰三角形，其中，并设记，据ⅰ）知，今证明，我们采用如下证题框架：欲证只要证因为当以上两式同时成立时，可将平方后减去式的两倍便得式．、为证……即证其中，．先证，即证，即即即也即，即，此为显然．又因，11而在等腰三角形中，则所以，且因此式化为往证，即证注意，即要证，即，由于只要证，，即，也即由于为最大角则因此，即，从...
