双曲线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若ab≠0，则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的()【解析】选C.方程可化为y=ax+b和+=1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，+∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b一致.2.(2015·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点，则k的不同取值有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由已知可得，双曲线的渐近线方程为y=±x，顶点(±2，0)，而直线恒过(-，0)，故有两条与渐近线平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点.3.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P，Q两点，且·=0(O为原点)，则-的值为()A.1B.2C.3D.【解析】选B.将y=1-x代入-=1，得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.因为·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，所以-+1=0，即2a+2ab-2a+a-b=0，即b-a=2ab，所以-=2.4.(2015·邢台高二检测)已知点F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是()1A.(+1，+∞)B.(1，)C.(1，1+)D.(，+∞)【解析】选C.如图所示.由于∠F1AB=∠F1BA，△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角.故只需要∠AF1F2<45°即可即<1，所以=<1即c2-a2<2ac.即e2-2e-1<0，解得1-1，故10，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1，)B.(，+∞)C.(1，2)D.(2，+∞)【解析】选D.设A(-c，y0)，代入双曲线方程得-=1，所以=.所以|y0|=，所以|AF|=.因为△ABE是钝角三角形，所以∠AEF>45°.则只需|AF|>|EF|，即>a+c，所以b2>a2+ac，即c2-a2>a2+ac，c2-ac-2a2>0.所以e2-e-2>0，解得e>2，e<-1(舍去).5.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切，则双曲线的方程为()2A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=，又因为c==2，所以有a=1，b=，故双曲线的方程为x2-=1.二、填空题(每小题5分，共15分)6.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为-，则双曲线的方程为________.【解析】由题意知中点坐标为，设双曲线方程为-=1.M(x1，y1)，N(x2，y2)，则-=1①，-=1②，①-②得=，即=·，所以=，解得a2=2，故双曲线方程为-=1.答案：-=1【拓展延伸】弦的中点及弦长问题的解决思路(1)联立直线与双曲线方程.(2)消元得关于x或y的一元二次方程.(3)根的判别式、根与系数的关系.(4)弦长问题、弦的中点问题的解决.7.(2014·浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，3若点P(m，0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是________.【解题指南】求出A，B的坐标，写出AB中点Q的坐标，因为|PA|=|PB|，所以PQ与已知直线垂直，寻找a与c的关系.【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y=x与y=-x，分别与x-3y+m=0(m≠0)联立方程组，解得A，B，设AB的中点为Q，则Q(，)，因为|PA|=|PB|，所以PQ与已知直线垂直，所以kPQ=-3，解得2a2=8b2=8(c2-a2)，即=，=.答案：8.已知双曲线-=1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________.【解析】由题意知F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，-≤k≤.答案：【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.三、解答题(每小题10分，共20分)9.双曲线-=1(a>1，b>0)的焦...
