专题对点练4从审题中寻找解题思路一、选择题1.已知方程x2m2+n−y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,❑√3)C.(0,3)D.(0,❑√3)2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A.6B.7C.8D.93.已知F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是()A.❑√2x±y=0B.x±❑√2y=0C.x±2y=0D.2x±y=04.已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l的条数共有()A.3B.2C.1D.45.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中b>a,且对任意x∈R都有f(x)≥0,则M=a+2b+3cb-a的最小值为()A.5-2❑√32B.5+2❑√32C.7-3❑√52D.7+3❑√526.(2018河北一模)设双曲线x2a2−y2b2=1(0
0,解得-1|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,所以∠PF1F2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4acos30°,得c=❑√3a,所以b=❑√c2-a2=❑√2a,所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±❑√2x,即❑√2x±y=0.4.D解析当直线l斜率存在时,令l:y-1=k(x-1),代入x2-y24=1中整理有(4-k2)x2+2k·(k-1)x-k2+2k-5=0.当4-k2=0,即k=±2时,l和双曲线的渐近线平行,有一个公共点.当k≠±2时,由Δ=0,解得k=52,即k=52时,有一个切点.直线l斜率不存在时,x=1也和曲线C有一个切点.综上,共有4条满足条件的直线.5.D解析由题意得a>0,b2-4ac≤0,即c≥b24a,则M=a+2b+3cb-a≥a+2b+3b24ab-a=1+2·ba+34·(ba)2ba-1.令ba=t,则t>1,于是M≥1+2t+34t2t-1=34(t-1)2+72(t-1)+154t-1=34(t-1)+154·1t-1+72≥3❑√52+72,当且仅当t-1=❑√5,即b=(1+❑√5)a,c=b24a=3+❑√52a时等号成立.所以M=a+2b+3cb-a的最小值为7+3❑√52.6.A解析 直线l过(a,0),(0,b)两点,∴直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l的距离为❑√34c,∴|ab|❑√a2+b2=❑√34c,即a2b2a2+b2=316c2,又c2=a2+b2,∴a2(c2-a2)=316c4,即316c4-a2c2+a4=0,化简得(e2-4)(3e2-4)=0,∴e2=4或e2=43.又 02,∴e2=4,即e=2,故选A.7.2解析(法一)因为bcosC+ccosB=2b,所以b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2b,化简可得ab=2.(法二)因为bcosC+ccosB=2b,所以sinBcosC+sinCcosB=2sinB,故sin(B+C)=2sinB,故sinA=2sinB,则a=2b,...
