九年级数学圆的对称性江苏科技版【本讲教育信息】一.教学内容：圆的对称性教学目标：（1）理解圆的对称性。（2）掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理。（3）掌握垂径定理，并能运用定理解决问题。（4）通过分析、观察、归纳、类比等数学活动，激励学生努力探求知识并积极寻找解决问题的方法。二.重点、难点：重点：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理及垂径定理。难点：是应用定理解决具体问题。课堂教学：（一）知识要点：知识点1：圆的对称性（1）圆的旋转不变性圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转任何角度后，仍与原来的圆重合。由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，圆心是对称中心。（2）圆的轴对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。圆的对称轴有无数条，不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴。知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。说明：上述两条性质的前提是“在同圆或等圆中”，若丢掉了这个条件上述结论不一定成立。知识点3：垂径定理文字语言：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧符号语言：证明：略说明：（1）这里的垂径可以是直径、半径，过圆心的直线或线段。（2）条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，又意味着平分弦所对的优弧。【典型例题】例1.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？说明：在解决有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径。例2.如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦，与相等吗？为什么？例3.已知：D、E分别为半径OA、OB的中点，C为的中点，求证CD＝CE。分析：由C是的中点，有，故可利用圆心角、弧、弦之间相等关系的定理证题，连接CO，则有△ODC≌△OEC得CD＝CE。例4.以⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC，AB、AC分别交⊙O于D、E两点，求证：BD＝DE＝EC。证略。例5.在⊙O中,过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M、N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两边延长交圆于P和Q两点，求证：PM＝NQ。证明：分析欲证PM＝NQ，由PQ为弦容易联想到作弦心距OH，则PH＝HQ，现只需证MH＝HN即可，又M、N分别为弦AB、AC的中点，易知OM＝ON，故结论成立。例6.已知：AB分别交半径OE、OF于点C、D，且AC＝DB，求证：（1）OC＝OD（2）分析：（1）欲证OC＝OD，可过O作OG⊥AB于G，通过等腰三角形“三线合一”证明。（2）欲证，可连接EF，利用垂径定理的推论“圆的两条平行弦所夹的弧相等”证明AB∥EF即可。例7.已知⊙O1和⊙O2相交于A和B，过A点作O1O2的平行线交两圆于C、D，若O1O2＝20cm，求CD的长。分析：可过O1作O1E⊥CD于E，过O2作O2F⊥CD于F，这样就可构造出矩形O1O2FE，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解。例8.已知：油面宽AB＝600毫米，弓形APB的高PQ＝450毫米，求油槽的内径及油的最大深度。分析：油槽的内径就是油槽的截面的内径，油的最大深度就是劣弧AB的中点到AB的距离，将此实际问题转化为数学问题，就是在圆中已知弦及弓形高，求半径。例9.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm,CD＝8cm，求AB和CD的距离。分析：本题有两种情况，要分AB与CD在原点的同侧或异侧来完成。例10.某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？解析：如图，MEFN为方形货船的横截面积所处的位置，由于桥拱所处位置最高，所以货船中心线OC对称的位置前进最有利，通过计算FN的长度和2m比较，若小于2m，则不能顺利过桥。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.填空：（1）AB是⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA＝2，OC＝1，则AB＝。（2）⊙O的两条弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，AB、CD之间距离为1cm，则⊙O的半径为cm。（3）⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM...
