利用割补减少立体几何的计算量毛金才姚汉兵“割补”是立体几何解题的重要方法。该方法的理论根据是“将某些直观图割补成另一些直观图，以显露原直观图的一些隐含条件”。下面举例说明“割补”在立体几何解题中的应用。一、割成锥例1.从空间一点O出发的四条射线两两所成的角都是θ，则θ一定是（）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角图1分析：如图1，在射线OA、OB、OC、OD上分别截取OA1、OB1、OC1、OD1，使。由四条射线两两所成的角都是θ，得三棱锥是正四面体，O是正四面体的中心。设，使用勾股定理及射影定理计算得。即θ为钝角。故选C。例2.从空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两所成的角都是60°，求二面角B-OA-C的余弦值。分析：如图2，在射线OA、OB、OC上分别截取，使。由OA、OB、OC两两所成的角都是60°，得三棱锥是正四面体。从而二面角的余弦值是。图2二、补成柱例3.在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，侧棱长，则正三棱锥的外接球的表面积为（）。A.12πB.32πC.36πD.48π分析：因为MN⊥AM，MN//SB，所以SB⊥AM。又SB⊥AC，所以SB⊥平面SAC，则SB⊥SA，SB⊥SC。易得SC⊥SA。由此可将正三棱锥S-ABC补成正方体，使SA、SB、SC是正方体的三条棱，从而正三棱锥S-ABC的外接球也就是正方体的外接球，其半径等于3，表面积等于。故选C。例4.正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高之比是（）A.B.C.D.分析：如图3，将正四面体A-BCD补成正方体，使正四面体A-BCD的棱为正方体的面对角线。设正方体的棱长为6，中心为O。连接AE，交面BCD于O1，易证平面BCD。则。故选C。图3例5.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=p，AD=BC=q，AC=BD=r，求三棱锥A-BCD外接球的半径。分析：将三棱锥A-BCD补成长方体，使其棱为长方体的面对角线，从而三棱锥A-BCD的外接球也就是长方体的外接球。设长方体的三棱长分别为x，y，z，则，所以从而外接球的半径练一练：1.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有_______个。2.已知a，b为互不垂直的异面直线，α是个平面，则a，b在平面α内的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。在上面结论中，正确结论的编号是_______。3.一个四面体的所有棱长都等于，且四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_______。（答案：1.42.①②④3.3π）
