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人教版A数学选修2-1:第二章2.4.1知能演练轻松闯关VIP免费

人教版A数学选修2-1:第二章2.4.1知能演练轻松闯关_第1页
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(2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A.y2=-8xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=4x解析:选C.显然由准线方程x=-2,可知抛物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程,同时得p=4,所以标准方程为y2=2px=8x.(2012·沧州质检)抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则实数a的值为()A.B.-C.8D.-8解析:选B.由y=ax2,得x2=y,=-2,a=-.抛物线y2=2px(p>0)过点M(2,2),则点M到抛物线准线的距离为________.解析:y2=2px过点M(2,2),于是p=1,所以点M到抛物线准线的距离为2+=.答案:抛物线过原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程是__________.解析:由已知抛物线开口向上,1+=5,所以p=8,即抛物线的标准方程是x2=16y.所以应填:x2=16y.答案:x2=16y[A级基础达标]顶点在原点,焦点是F(0,5)的抛物线方程是()A.y2=20xB.x2=20yC.y2=xD.x2=y解析:选B.由=5得p=10,且焦点在y轴正半轴上,故x2=20y.抛物线y=-的准线方程是()A.x=B.y=2C.x=D.y=4解析:选B.抛物线方程化为标准式:x2=-8y,所以准线方程是y=2.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线的焦点间的距离为()A.2B.3C.4D.5解析:选D.抛物线的准线为y=-1,∴点A到准线的距离为5,由抛物线的定义知,点A与焦点间的距离也是5.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是__________.解析:由双曲线-=1,得抛物线的焦点坐标为(4,0),故可设抛物线方程为y2=2px(p>0),所以=4,即p=8,抛物线方程为y2=16x.答案:y2=16x已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=__________.解析:抛物线的焦点坐标为,由=5,得p=4或p=-12(舍去).答案:4在抛物线y2=12x上,求与焦点的距离等于9的点的坐标.解:由方程y2=12x,知焦点F(3,0),准线l:x=-3,设所求点为P(x,y),则由定义知:|PF|=x+3,又|PF|=9,∴x+3=9,x=6,代入y2=12x,得y=±6.故所求点的坐标为(6,6),(6,-6).[B级能力提升]一动圆圆心在抛物线x2=4y上,过点(0,1)且与定直线l相切,则l的方程为()A.x=1B.x=C.y=-1D.y=-解析:选C.因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线x2=4y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以l:y=-1.已在点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.B.C.(1,2)D.(1,-2)解析:选A.点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线距离,如图,PF+PQ=PS+PQ,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,点P坐标为.若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程为__________.解析:设动圆半径为r,动圆圆心O′(x,y)到点(2,0)的距离为r+1.O′到x=-1的距离为r,∴O′到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等,由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.解:(1)双曲线方程化为-=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,∴p=6,∴方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0),A(m,-3),由抛物线定义得5=|AF|=.又(-3)2=2pm,∴p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.(创新题)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.解:如图,设点M的坐标为(x,y),由于点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,则点M到点F(4,0)的距离与它到直线l′:x+4=0的距离相等.根据抛物线的定义可知点M的轨迹是以F为焦点,直线l′为准线的抛物线,且=4,即p=8.所以点M的轨迹方程为y2=16x.

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