13.4复数的乘法与除法VIP专享VIP免费

3.2.2复数代数形式的乘除运算已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i导探究点1复数乘法运算我们规定，复数乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的乘积为：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i注意：两个复数的积是一个确定的复数.展类似两个多项式相乘探究点2复数乘法的运算律复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？请验证乘法是否满足交换律?对任意复数z1=a+bi,z2=c+di则z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i而z2·z1=(c+di)(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i所以z1·z2=z2·z1(交换律)展乘法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=z2·z1(交换律)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(结合律)z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3(分配律)展例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1展例2计算:(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i)2.解:(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.展【总结提升】（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的．展(23)(23)ii(3)10izz1.计算2.已知,则=133-i变式训练：展探究点3共轭复数的定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身.思考：若z1，z2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z1·z2是一个怎样的数？记法：复数z=a+bi的共轭复数记作zz=a-bi展解：⑴作图yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,0)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o得出结论：在复平面内，共轭复数z1,z2所对应的点关于实轴对称.展⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi则z1·z2=(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2+b2结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.展探究点4共轭复数的相关运算性质2222||||zzzzabzRzz0,为纯虚数zzzz且展i(i)()i(i0()()iiiii)ii.满足的复数叫做复数除以复数的记或商作：cdabcdabxyxyababcddcdc探究点5复数除法的法则类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.展在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.(12(.3)34)ii算例计22(12)(34)1234(12)(34)3864(34)(34)3451012.2555iiiiiiiiiiii解先写成分式形式然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数结果化简成代数形式展变式训练：⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii1-i413i注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等.-1展1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并.2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立.3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身.4.复数代数形式的除法实质：分母实数化.评12121.下列命题中正确的是（）A.如果z+z是实数，则z,z互为共轭复数B.纯虚数z的共轭复数是-zC.两个纯虚数的差还是纯虚数D.两个虚数的差还是虚数B检2.若复数z=1+i(i为虚数单位)是z的共轭复数，则+的虚部为（）A.0B.-1C.1D.-2Az2z2zA3.(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足1+z1iz,则|z|=()A.1B.ξ𝟐C.ξ𝟑D.2解：因为1+z1iz,所以11-1+iz=111iiiiii,故|z|=1.检4.(2015·湖北高考)i为虚数单位,i607=()A.iB.-iC.1D.-1解：因为i607=(i2)303·i=-i.B检5.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.121,1,xixi解：44442212(1)(1)(2)(2)8.xxiiii所以注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.检226.已知复数x+x-2+(x-3x+2)i(x∈R)是4-20i的共轭复数，求x的值.2242042024,3220.32363.iixxxxxxxxx因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得或解得或所以解ii检