n｛pa+qb｛na｝a+2n—2a+3n等差数列1.定义：a-a二d或a-a二d(n>2)(用于证明数列是等差数列)n+1nnn-1例:1.增减性：设等差数列b｝的公差为d,若数列La”｝为递减数列，则()nA.d<0B.d>0C.ad<0D.ad>0112.已知b｝和缶｝均是等差数列，p,q是常数，则下列数列是等差数列的序号为nn3.已知数列｛a｝满足a=4，a=4-~^(n>2,neN*)，设b=-—n1nana—2n—1n(1)求证：数列£｝是等差数列；n(2)求数列｛a｝的通项公式.n跟踪训练：1.已知数列｛a｝满足a2—a2=2，a=2，求ann+1n1n2.已知数列"Sa｝满足a=1，a=—n+1nn是等差数列；n(2)求数列b｝的通项公式.2.等差数列的通项公式：a二a+(n-1)d(关于n的一次函数)n1例.已知等差数列满足a二n,a二m，则a二.mnm+n与通项公式有关的性质：(1)a二a+(n—m)dnm例1.已知b｝是等差数列，a二6，则a—1a二.n89311例2.在等差数列b｝中，a+a二a,a+a二b，贝Ua+a二.n910192099100(2)女口果m+n=p+q，那么a+a二a+amnpq例.已知等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项和为25，后10项和为75，则项数n为.(3)如果m+n=2k，那么a+a二2a，其中a是a和a的等差中项，也称mnkkmna,a,a成等差.(若数列满足2a二a+a，则也可证明此数列是等差数列)mknnn—1n+1例1.等差数列｛a｝的前n项和为S，已知a1+a1_a2=0，S2严38,则mnnm－1m＋1m2m－1例2.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数歹列的中间项是，项数是-3.等差数列的前n项和公式：S二n(ai+an)=na+—1)d(关于n的二次函数n212且常数项为0，记作An2+Bn)与S有关的性质n(4)S,S—S,S—S成等差n2nn3n2n设S是a的前n项和，若二=1，则乂=。nnS3S612(5)已知等差数列b｝和缶｝的前n项和分别是S和T，则=4nnnnbTn2n—1A7n＋45例.已知两个等差数列｛a」和｛化｝的前n项和分别为An和B”，且戸=卄彳，则n使得才为整数的正整数的个数是()•nA．B．C．D．则使其前n项和S>0成立的na=2，且2a—a=a(neN*)，则5n+1n+2na|+a|+1^1的值例26为等差数列⑷的前n项和，且ai=1，S7=28记其中［工】表示不超过x的最大整数，如［0.9］=0，（I）求b，b，b；111101（II）求数列齣』的前1000项4.关于S的最值问题n1.a>0,d<0可求S的最大值；a<0,d>0可求S的最小值1n1n法一.求出S的表达式转化二次函数最值问题，需注意n取整的条件；法二.求出n变号临界项例1.在等差数列｛a｝中，若a>0，且3a=5a，则S中的最大项是（）n1813nA.SB.SC.SD.S19202122例2.设S为等差数列b｝的前n项和，已知a=-7,S=-15.nn13（1）求b｝的通项公式；n（2）求S，并求出S的最小值.nn2.求S>0或S<0成立的n的最值（找已知条件）nn例.设b｝为等差数列，a>0,a+a>0,a・a<0,n16767最大自然数n是.3.特殊求和.例1.在数列｛1｝中，a=8,n2nn等比数列1.定义：九=q或佯=q（n>2）（用于证明数列是等比数列）aann-1例1.等比数列的增减性：已知递增的等比数列b｝的公比为q.其前n项和S<0，则（）nnA.a<0,01C.a>0,00,q>1例2：已知数列｛a｝满足a=a=1,a=5a-2a.n132n+23n+13n证明：｛a-a｝是等比数列，并求出a的通项公式.n+1nn跟踪训练：已知数列｛a｝满足a二1,a二2a+1.n1n+1n求证：数列£+1｝是等比数列并求出a的通项公式.也称例已知等比数列的前项和，则实数的值为2.通项公式：a二a-qn-i（关于n的指数型）n1若等比数列满足二，则公比为与通项公式有关的性质：a二a-qn-mnm例1.等比数列｛a｝的公比q>0，已知a=1，a+a二6a，则a的通项公n2n+2n+1nn式是.例2.数列｛x｝满足lgx=lgx+1，_l且x+x+•…+x=100，贝Ugx+x+•…+x)nn+1n12100101201002等于.女口果m+n=p+q_那么a-a=a-amnpq如果m+n=2k_那么a•a=a2_其中a是a和a的等比中项,mnkkmna,a,a成等比（若数列满足i2=a-a，则也可证明此数列是等比数列）mknnn-1n+12.前n项和公式：S=—1（q丰1）n1-q例2.设S为等比数列｛a｝的前n项和，8a+a=0，则S5=nn25S2例已知等比数列中，公比=-为的前项和，证明：=；，求数列的通项公式.与S有关的性质：nS,S-S,S-S成等比且公比为qnn2nn3n2n例1.设S为等比数列｛a｝的前n项和，S二54,S二60,则S二.nnn2n3n例2.已知各项均是正数的等比数列｛｝,aaa=5,aaa=10,则n123789aaa=.4564.等差等比的综合应用例已知各项不为的等差数列，满足一+二，数列是等比数列，且=，贝V=例在等比数列｛a｝中，若公比q>1,且a-a二6,a+a二5,则n2846a5=a7例等比数列｛｝的前n项和为S，已知S,2S,3S成等差数列，则｛｝的公比nn123n
