高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.5 最值位置不迷惑 单调区间始与末()VIP免费

1【题型综述】函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【典例指引】例1．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【思路引导】（1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可，（2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定最值的取2值地方从而计算得出最值点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可得到最值例2．设函数.(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）方程等价于，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得的取值范围；（2）恒成立等价于恒3成立，两次求导，求得的最小值为零，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1）方程即为，令，则，当时，随变化情况如表：↗极大值↘，当时，，的取值范围是.4例3．已知函数的一个极值为．（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的最大值为18，求实数的值．【思路引导】（1）由题意得，函数有两个极值为和令，从而得到实数的值；（2）研究函数在区间上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数的方程，解之即可.试题解析：（1）由，得，令，得或；令，得；5令，得或.所以函数有两个极值为和令.若，得，解得；若，得，解得；综上，实数的值为或5.（2）由（1）得，，在区间上的变化情况如下表所示：6【同步训练】1．已知函数（且），为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．【思路引导】(1)由导函数的解析式可得．(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．7（Ⅱ），，令，得，则①当时，，极小值所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，因为当时，，所以此方程无解．②当时，，8极小值点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．2．已知函数f(x)＝(x－k)ex，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．【思路引导】（1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的单调区间．（2）当k﹣1≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）min=f（0）=﹣k；当1＜k≤2时，函数f（x）在区间[0，k﹣1]上递减，（k﹣1，1]上递增，；当k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）min=f（1）=（1﹣9k）e．试题解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)(k－1)(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在...