第三章计数问题主要内容:一.分数的计算不重不漏二.数字谜第一节分数的计算不重不漏计数问题内容丰富,十分有趣,是竟赛的重要内容之一。解答类题针对各种情况进行分类讨论。特别注意的是在分类时要按一定标准、一定顺序、或一定规律计算，这样才能保证不重不漏。问题3.1.1在三位数中,数字和是5的倍数的数共有多少个?分析一:最大的三位数是999,所以三位数的数字和最大可能为9×3=27,因此数字和为5的倍数时,数字和只能有5、10、15、20、25这5种情况。由于情况复杂，故分六种情况分别讨论。1、3个数字都相同，只有1个数：5552、3个数字中有2个相同，且这3个数字都不为0。如9+9+7，9+9+2等。共有3×16=48个。3、3个数字都不相同，且都不为0。如9+8+39+7+4等。共有6×16=96个4、3个数字中有2个为0，只有1个数：5005、3个数字中有2个数字不同，且另外1个数字为0。如9+6+0，8+7+0等。共有4×8=326、3个数字中有2个相同，另外一个为0，只有2个：505、550共有1+48+96+1+32+2=180个数分析二:三位从100到999中共有900个,每10个数为一组,每组中必有且只有2个数的数字和是5的倍数,如100—109中有104、109,670～679中有672、677等等，因此数字和为5的倍数的数共有900÷10×2=180（个）问题3.1.2（1）若1米远栽一棵树，问1037米远栽多少棵树？（2）有一个正方形池塘，每边长1037米，若一米远栽一棵树，问池塘周围共栽多少棵树？“退”是一种思维技巧，就是当我们要数的对象数目较大而难数时，我们先退下来考虑数目较小的几种简单情况，从这些情况中寻找方法、摸索规律，就解决了原来的问题问题3.1.3在图7-3中的两条线段上各含多少条线段？解法1：我们把中间不含点的线段叫单线段。由1条单线段构成的线段有AC、CD、DB3条；由2条单线段构成的线段有AD、CB2条；由3条单线段构成的线段有AB1条．共3+2+1条．解法2：以A为左端点的线段有AC、AD、AB3条；以C为左端点的线段有CD、CB2条；以D为左端点的线段有DB1条．也是共3+2+1条．问题3.1.4在图7-4中的两条线段上各含多少条线段？分析：若像问题3.1.3那样分类计算．但是由于数字较大处理起来就不那么方便了．可换一种方法，用前面介绍的“退”的思想．先考虑只有3点的线段：共有线段2+1=3条。后考虑有4点的线段，共有线段3+2+1条。再考虑有5点的线段，共有线段4+3+2+1条。规律1：线段的条数是从1起的连续自然数的和，其最大的加数是“点数减1”．故线段（1）中100个点的线段总数是99+98+…+1；而线段（2）中n个点，故线段共有（n-1）+（n-2）+…+2+1条．问题3.1.5在图7-5的两个图形中各含多少条线段？分析：（1）中共12条长线段．每条线段上都有6个点．由规律2的结论每条长线段上含15条线段，故本图中共有12×15=180条线段分析：（2）中共有10条长线段，无法统一计算每条上含线段的条数．因此，我们把具有相同点数的长线段放在一起，先按各线段上的点数为标准将这些长线段进行分类，然后再各类分别计算．（故此图中共含51条线段．）问题3.1.6一根绳子长40米，把它对折，剪断；再对折，剪断；第三次对折，剪断，这时绳子平均分成了几段．每段长多少米？答：第三次对折时均分成了8段，每段长5米．注意：本题属“对分问题”，解这类题也有规律可循．事实上：第一次对分成了2等分；第二次对分成了2×2等分；………问题3.1.7数一数在图8-1所示的图形中有多少个不同的三角形？分析：现在需要计数的是三角形，而我们最会计算的是线段，于是想到把三角形与线段对应．我们把三角形与它的底边对应（见图8-2）：把两堆事物能不多不少地一一配对（对应），那么这两堆事物个数一样多，我们把这叫对应原理．问题3.1.8图8-3的两个图形中各含有多少个三角形？分析：由于这两个图中所有的三角形都共一个顶点，我们把每个三角形都与它们的底边（线段）对应．那么由对应原理，要计算图中三角形的个数就只需要计算线段AB和A′B′上含线段的条数就行了．由于AB上有102个点，A′B′上有n个点，由上节的结论易知图（1）、（2）中所含的三角形个数分别为:问题3.1.9图8-4的两个图形中各含有多少个三角形？分析：若用上面的规律求解．但图（1）比较复杂，显然需分...
