高考数学总复习解题思维专题讲座之一-数学思维的变通性VIP专享VIP免费

2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之一数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。例如，求和.这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，因此，原式等于问题很快就解决了。（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组.这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为。由此联想到韦达定理，、是一元二次方程的两个根，所以或.可见，联想可使问题变得简单。（3）善于将问题进行转化数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知,,求证、、三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用第1页同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。二、思维训练实例（1）观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1已知都是实数，求证思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设如图1－2－1所示，则在中，由三角形三边之间的关系知：当且仅当O在AB上时，等号成立。因此，思维障碍很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。例2已知，试求的最大值。解由得又当时，有最大值，最大值为思路分析要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。思维障碍大部分学生的作法如下：第2页xyO),(baA),(dcB图1－2－1由得当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。有些问题的观察要从相应的图像着手。例3已知二次函数满足关系，试比较与的大小。思路分析由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称，又由已...