《函数及其表示》(理科)VIP专享VIP免费

第一节函数及其表示1．函数的有关概念(1)函数的概念：设A、B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称，记作．其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的，显然，值域是集合B的．唯一f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)(x∈A)自变量定义域函数值值域子集数集(2)函数的三要素有：、和．(3)函数的表示方法有：、、．(4)相等函数如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数为相等函数．定义域值域对应关系解析法图象法列表法定义域对应关系2．映射的概念映射：设A，B是两个，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的元素x，在集合B中都有的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作：.非空的集合任意一个唯一确定f：A→B3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是函数．对应关系并集并集一个4．复合函数如果y是u的函数，记为y＝f(u)，u又是x的函数，记为u＝g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数y＝f(g(x))，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，y＝f(u)叫做外层函数，u＝g(x)叫做内层函数．1．函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是________．解析：要使函数f(x)有意义，则x－1>0，即x>1.答案：(1，＋∞)2．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．其中不正确的有________．解析：只有①正确，②③④错误．答案：②③④3．(2011年广东)函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是________．解析：由1－x≠01＋x＞0得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．答案：(－1,1)∪(1，＋∞)4．已知函数f(x)＝3x，x≤1，－x，x＞1.若f(x)＝2，则x＝________.解析：方程3x＝2(x≤1)的解为x＝log32；方程－x＝2(x＞1)无解．答案：log325．已知函数f(x)＝3x＋2，x＜1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.解析： f(0)＝3×0＋2＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a，解得a＝2.答案：2热点考向一求函数的定义域(1)函数f(x)＝1lg6－x2的定义域是________；(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是________．【解析】(1)要使函数有意义，应有6－x2＞0，lg6－x2≠0，∴6－x2＞0，6－x2≠1，解之得－6＜x＜6且x≠±5，所以函数的定义域是{x|－6＜x＜－5或－5＜x＜5或5＜x＜6}．(2) y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x≤1，∴12≤2x≤2，∴函数y＝f(log2x)中12≤log2x≤2.即log22≤log2x≤log24，∴2≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为[2，4]．【答案】(1){x|－6＜x＜－5或－5＜x＜5或5＜x＜6}(2)[2，4]【点评】(1)求函数的定义域，其实质就是函数解析式有意义，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其依据一般是：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数非负；③y＝x0中x≠0；④对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤实际问题中，函数定义域要考虑实际意义．(2)求抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．1．(1)函数f(x)＝|x－2|－1log2x－1的定义域为________．解析：由|x－2|－1≥0x－1>0x－1≠1得x≥3或x≤1，x>1，x≠2，解得x≥3，所以函数的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)(2)(2011江西)若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为________．解析：根据题意得log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈(－12，0)．答案：(－12，0)热点考向二求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．【解析】(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a...