2．2双曲线1．知识与技能记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．2．过程与方法会用待定系数法确定双曲线的方程与椭圆的标准方程比较，加以区分．本节重点：双曲线的定义及其标准方程．本节难点：双曲线标准方程的推导．1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解．2．在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.1．当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时，可直接求出a、b，写出对应的方程，而无须由距离公式写出推导过程．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦点所在位置，不能确定时应分类讨论．3．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．4．当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时，要注意应用数形结合的思想方法．5．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能．(3)确立参数的关系式：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组．(4)解方程组：定形式，解上述方程组，得到参数a、b、c的值，代入所设方程即为所求．注意：方程mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它包含焦点在x轴上和在y轴上两种情形，方程变为x21m＋y21n＝1，当m>0，n<0时，方程为x21m－y2－1n＝1表示焦点在x轴上的双曲线，此时a＝1m，b＝－1n；当m<0，n>0时，方程为y21n－x2－1m＝1表示焦点在y轴上的双曲线，此时a＝1n，b＝－1m.在求双曲线的标准方程时，若焦点的位置不确定，则常考虑上述设法．1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做．这两个定点叫做双曲线的，两焦点之间的距离叫做双曲线的．2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是；若2a>|F1F2|则动点的轨迹是．3．双曲线定义中应注意关键词“”，若去掉定义中“”三个字，动点轨迹只能是．双曲线焦点焦距两条射线不存在绝对值绝对值双曲线一支[例1]已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3，－42)，94，5，求双曲线的标准方程．[解析]解法一：(1)若双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)依题意得32a2－9b2＝125a2－8116b2＝1令m＝1a2，n＝1b2，则方程组化为：32m－9n＝125m－8116n＝1解这个方程组得m＝116n＝19，即a2＝16，b2＝9，所以所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，依题意得9a2－32b2＝18116a2－25b2＝1，此时无解．综上所得，所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.解法二：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1(AB>0)，依题意得9A－32B＝18116A－25B＝1，解得A＝－19B＝116故所求双曲线方程为－x29＋y216＝1即y216－x29＝1.[点评]求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴，其次再确定a、b的值．若已知双曲线经过两个定点，求双曲线方程，设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1(AB<0)，列出关于A、B的二元一次方程组，求出A、B既避免了讨论又降低了未知数的次数，大大减少所需的运算，体现了由繁至简的化归思想．已知双曲线过P1(－2，325)和P2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．[解析]解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)． P1、P2在双曲线上，∴(－2)2a2－(325)2b2＝1(437)2a2－42b2＝1，解得1a2＝－1161b2＝－19(不合题意舍去)．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)． P1、P2在双曲线上，∴(325)2...
