复习引入OyxzMxyz（x，y，z）M'（x，y，0）如何计算空间两点之间的距离?4.3.2空间两点间的距离公式思考类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点间的距离公式吗？)z,y,(xP),z,y,(xP22221111平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离公式21221221)y(y)x(x|PP|yxoP2P1(x1,y1)(x2,y2)空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。ABC|OA|=|x|,|OB|=|y|,|OC|=|z|从立体几何知识可知，|OP|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2222zyx|OP|所以P(x,y,z)xzy0点P是特殊点时很简单思考如果|OP|是定长r，那么表示什么图形？2222rzyx表示以原点为球心，r为半径的球面。OxyzP空间任意两点间的距离.P2(x2,y2,z2)S1Q1R1S2R2Q2|P1Q1|=|x1-x2|；|Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2||P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|222212121212|PP|(xx)(yy)(zz)xyzOP1(x1,y1,z1)MNM1M2N1N2HA空间两点的距离公式是：)z,y,(xP),z,y,(xP2222111122122122121)z(z)y(y)x(x|PP|xyzO)z,y,(xP1111)z,y,(xP2222例1已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面.整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3)变式训练在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.例2.|AB|=|BC|=,|CA|=.由于|BC|=|CA|=,所以△ABC是一等腰三角形.变式训练三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.两点间距离公式在几何中的应用(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中.②定坐标：在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐标.③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长.(2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长.②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状.例3.在四面体P-ABCA中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离。PBCA解法1：等积法拓展提升xyzPABCH解法2：根据题意，建立如图所示的坐标系，则P（0,0,0），A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。xyzPABCH∵PA=PB=PC,H∴为的外心，ΔABC又∵为正三角形，ΔABC∴点P到平面ABC的距离是a33)3a(0)3a(0)3a(0|PH|222ΔABC)3a,3a,3a(∴H为的重心，可得点H的坐标为a33课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.随堂练习1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则线段AB的长为（）2C.43A.42D.33B.22．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则OB等于（）3C.214A.11D.13B.AB可以先求出B点的坐标用两点间的距离公式xoyzB（0，2，3）A（1，2，3）3.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）23C.26A.36D.3B.A4.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为（）A．（7/2,，4，-1）B．（2，3，1）C．（-3，1，5）D．（5，13，-3）DOyxzMxyz
