高中数学 第二章 数列 22 等差数列的性质课件 新人教B版必修5 课件VIP免费

知识回顾等差数列—几何意义—通项—公差—定义AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an②公差是唯一的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.a,a,a,a,……，a，……；√√√××复习巩固：(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是(2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是-4an=-5+(n-1).(-4)10二、填空题：简言之————“知三求一”(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个例1.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6结论:三数成等差数列可设这三个数分别为a-da，a+d四数成等差数列可设这四个数分别为a-3da-d,a+d,a+3d等差数列的性质例2：已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看是否是一个与n无关的常数)2(1naann解：取数列{an}中任意相邻两项an与an-1,])1([1qnpqpnaannpqppnqpn)(它是一个与n无关的常数，则这个数列是等差数列。且公差为p,a1=p+q结论:数列的通项公式为an=pn+q，(其中p,q是常数)等价与这个数列是等差数列关于n的一次函数例3、已知数列{an},{bn}都为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列证法1：设an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2（其中a1、b1、d1、d2均为常数）所以an+bn=[a1+(n-1)d1]+[b1+(n-1)d2]=(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=[(a1+b1)+(n+1-1)(d1+d2)]-[(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)]=d1+d2（常数）故数列{an+bn}为等差数列问题1：通过刚才的证明你能得出数列{an+bn}的首项和公差吗？它的首项和公差与数列{an},{bn}的首项和公差有什么关系？证法2：设an=A1n+B1，bn=A2n+B2(其中A1,A2,B1,B2为常数）所以an+bn=（A1n+B1）+（A2n+B2）=（A1+A2）n+（B1+B2）所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=[（A1+A2）(n+1)+（B1+B2）]-[（A1+A2）n-（B1+B2）]=A1+A2（为常数）例3、已知数列{an},{bn}都为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列思考：（1）数列{an-bn}是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。（2）数列{pan+qbn}（其中p、q为常数）是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。性质1:若{an}、{bn}都是等差数列，且公差分别为d1,d2,(1).则{an±bn}也是等差数列,且公差为d1±d2。(2).则{pan±qbn}也是等差数列,且公差为pd1±qd2性质2.若{an}是等差数列,且p+q=m+n，(p,q,m,n为正整数），则ap+aq=am+an。即下标和相等，则相应项和也相等（两边项数一样）证明：ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)dam+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d又因为p+q=m+n，所以ap+aq=am+an如：a2+a9=a5+a6a6+a10=a8+a8=2a823121nnnaaaaaapnm2pnmaaa2特别地,若,则注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的例4.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1523分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31性质3:若{an}是等差数列,则从中抽取间隔相等的项也是等差数列an=am+(n-m)dan-am=(n-m)da1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12a1a4a7a10性质4:若{an}是等差数列,则长度相等的连续k项的和也是等差数列,如:a1+a2+…+ak,ak+1+ak+2+….+a2k,a2k+1+….+a3k,…也是等差数列a1+a2+…+ak,a2+a3+….+ak+1,a3+a4….+ak+2,…也是等差数列385651015(1),______;(2),,______;aamaaaaaba若则若则(3)若求30521aaa801076aaa111215______aaa例5.在等差数列{an}中m2b-a130性质5:若{an}是等差数列,则也是等差数列。