走进高考中的“合情推理”法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用．惟有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具，而直觉则是发明的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查演绎推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题，考查学生的合情推理能力．一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段．１．观察图形，寻找规律例1（高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以()fn表示第n堆的乒乓球总数，则(3)f________；()fn_________（答案用n表示）．解析：(1)1f，观察上图可知(2)4f，(3)10f，(4)20f，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…，通项公式是(1)2nn，所以(1)()(1)2nnfnfn，所以有2(21)(2)(1)2ff，3(31)(3)(2)2ff，4(41)(4)(3)2ff，…，(1)()(1)2nnfnfn．以上各式相加，得2222223344()(1)2nnfnf…22222(1234)(1234)2nn……(1)(21)(1)(1)(2)6226nnnnnnnn．所以应该填：10；(1)(2)6nnn．点评：解决问题的关键是找到相邻两项的关系．求()fn的通项公式时运用累差法思想求解．可见高考题多数是依据课本知识中的思想或方法来设计题目．2．分析式子，寻找规律例2（高考湖南卷·理）设0()sinfxx，10()()fxfx，21()()fxfx，…，1()()nnfxfx，nN，则2005()fx（）Ａ．sinxＢ．sinxＣ．cosxＤ．cosx解析：本题若通过递推关系，将前2004项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形．0()sinfxx，10()()cosfxfxx，21()()sinfxfxx，32()()cosfxfxx，43()()sinfxfxx，…由此继续求导下去，四个一循环，又200550141，所以20051()()cosfxfxx．故选（C）．二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．１．类比旧知识，推出新结论例3（高考湖北卷·文）半径为r的圆的面积2()πSrr，周长()2πCrr，若将r看作(0)，∞上的变量，则2(π)2πrr．①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0)，∞上的变量，请你写出类似于①的式子：____________________________，②②式可用语言叙述为__________．解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出34()π3VRR，2()4πSRR．所以填：324π4π3RR；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积与周长同球的体积与表面积进行类比．2．类比新知识，推出新结论例4（高考四川卷改编）非空集合G关于运算?茌满足：（1）对任意的abG，，都有abG，（2）存在eG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①Ｇ＝｛非负整数｝，为整数的加法．②Ｇ＝｛偶数｝，为整数的乘法．③Ｇ＝｛平面向量｝，为平面向量的加法．④Ｇ＝｛二次三项式｝，为多项式的加法．其中Ｇ关于运算为“融洽集”的是_______．（写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过的运算后集合的封闭性，条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e为非负整数集中的０．在②中，要满足aeeaa，则1e，显然eG．在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e为零向量．在④中，此时的0e，不是二次三项式．故填①③．
