高中数学二轮复习 第3课时 导数及其应用课件 新人教版 课件VIP免费

专题一不等式、函数与导数1．充分理解导数即瞬时变化率，它是平均变化率的极限，路程对时间的瞬时变化率是瞬时速度，速度对时间的瞬时变化率是瞬时加速度等．2．会用导数研究函数图象的形状：单调性、极值、最值等．注意f(x)“在M上单调”与“它的单调区间为M”的区别；注意极值与极值点的区别．另外，可构造辅助函数，研究方程根的个数，证明不等式等．3．结合图形，理解在P点处的切线与过点P的切线的区别．切线问题的核心是抓住一个等量关系沟通已知与待定．设切点为P(x0，y0），则切线的斜率为k=f′(x0)．通过切点沟通曲线与切线．【例1】(2010浙江杭州第一次数学质检)已知a∈R，函数f(x)=x2(x-a)．(1)当a=3时，求f(x)的零点；(2)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值．求函数在某区间上的最值，可先利用导数求得极值点，再以极值点与给定区间的位置关系为标准进行分类讨论．22()(-3)()0..2()3-23(12-3)1,230xxfxxxfxmfxxaxxxax由题意得，由，解得设此最小值为，或．0()01,2()1,211-.200()0()322[)0()3320()[0]32()2328-43afxxfxmfaaaxxfxfxaaxfxafxaamfa①当时，，，则是区间上的增函数，所以②当时，且或时，，从而在区间，上是增函数；当时，，从而在，上是减函数；ⅰ当，即时，；332324()123()-323273()0131-()243-(3)2724(2-)(31-.2.)aaaamaaaaaamfamfaⅱ当，即时，；ⅲ当时，综上所述，所求函数的最小值为：(1)已知f(x)在M上递增，则f′(x)≥0在M上恒成立；(2)讨论某区间上函数的最值问题，可通过画图、截取、观察获得．【变式训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y=f(x)在[-3,1]上的最大值；(3)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．将过点P的切线方程与y=3x+1建立等价关系式,再利用y=f(x)在x=-2时有极值可确定a，b，c的值．第(3)问可转化为f′(x)≥0在[-2,1]上恒成立时b的取值范围．(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c，所以f′(x)=3x2+2ax+b.过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y-f(1)=f′(1)(x-1)，即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)．而已知过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1.故，即因为y=f(x)在x=-2时有极值，故f′(-2)=0.所以-4a+b=-12.③由①②③联立解得a=2，b=-4，c=5，所以f(x)=x3+2x2-4x+5.32321abac203abca(2)f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)，令f′(x)=0，解得x=或x=-2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极大值为f(-2)=13，极小值为f()=.又因为f(-3)=8，f(1)=4，所以f(x)在[-3,1]上的最大值为13.(3)y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增．x-3(-3,-2)-2(-2,)(,1)1f(x)+0-0+f(x)8↗极大值↘极小值↗423232323239527又f′(x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0.所以f′(x)=3x2-bx+b.依题意知，在[-2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立，当x=≥1，即b≥6时，f′(x)min=f′(1)=3-b+b≥0，所以b≥6；当x=≤-2，即b≤-12时，f′(x)min=f′(-2)=12+2b+b≥0，所以b不存在；当-2＜＜1，即-12＜b＜6时，f′(x)min=f′()=≥0，所以0≤b＜6.综上所述b≥0.6b6b6b6b221212bb【例2】(2010湖南卷)已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a，其中a<0，且a≠-1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设函数(e是自然对数的底数)．是否存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．(1)(1)xx322(23646)()()xxaxaxaaegxefx利用导数判断f(x)的单调性．分段函数在某区间上单调，可转化为各段函数在该区间上分别单调，且断点处的函数值也满足单调性即可．ax(1)f(x)的定义域为(0，+∞)．①若-10；当-a1时，f′(x)>0.故f(x)分别在(0，-a)，(1，+∞)上单调递增，在(-a,1)上单调递减．②若a<-1，同上可得f(x)分别在(0,1)，(-a，+∞)上单调递增，在(1，-a)...