1.直线与双曲线的位置关系一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0)①双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)②把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)当b2-a2k2=0,即k=±ba时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C______________.相交于一点(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇒直线与双曲线有____个公共点,此时称直线与双曲线________;Δ=0⇒直线与双曲线有____个公共点,此时称直线与双曲线________;Δ<0⇒直线与双曲线________公共点,此时称直线与双曲线________.2.弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|.两相交一相切没有相离探究点一直线与双曲线的位置关系问题1怎样判断直线与双曲线的位置关系?答案判断直线与双曲线的位置关系,一般先联立方程组,消去一个变量,转化成关于x或y的一元二次方程,再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时,就转化成x或y的一元一次方程,只有一个解.这时直线与双曲线相交只有一个交点.当二次项系数不为零时,利用根的判别式,判断直线和双曲线的位置关系.问题2直线和双曲线只有一个公共点,直线和双曲线一定相切吗?答案不一定,平行于渐近线的直线若和双曲线相交,只有一个公共点,而不是相切.例1已知双曲线x2-y22=1,直线l过点P(1,1),当k为何值时,直线l与双曲线C:(1)有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)无公共点?解设直线l:y-1=k(x-1),即y=kx+(1-k).由y=kx+1-k,x2-y22=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0.(*)当k2-2=0,即k=±2时,(*)式只有一解,直线l与双曲线相交,只有一个公共点.当k2-2≠0时,Δ=24-16k,若Δ=0,即k=32,方程(*)只有一解,直线与双曲线相切,只有一个公共点;若Δ>0,即k<32,方程(*)有两解,直线与双曲线相交,有两个公共点;若Δ<0,即k>32,方程(*)无解,直线与双曲线无公共点.综上,(1)当k=±2或k=32时,直线l与双曲线只有一个公共点;(2)当k<32且k≠±2时,直线l与双曲线有两个公共点;(3)当k>32时,直线l与双曲线无公共点.小结在讨论直线与双曲线的位置关系时,要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况,再考虑Δ的情况,而且不要忽略直线斜率不存在的情形.跟踪训练1双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.求双曲线的离心率e的取值范围.解由x+y=1,x2a2-y2=1消去y得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,由题意知1-a2≠0,4a4+8a21-a2>0,得a∈(0,1)∪(1,2).∴e=ca=a2+b2a2=1+1a2,∴e∈62,2∪(2,+∞).探究点二与弦长有关的问题例2设双曲线的顶点是椭圆x23+y24=1的焦点,该双曲线又与直线15x-3y+6=0交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).(1)求此双曲线的方程;(2)求|AB|.解(1)已知椭圆的焦点为(0,±1),即是双曲线的顶点,因此设双曲线方程为y2-mx2=1(m>0)①又直线15x-3y=-6②A(x1,y1)、B(x2,y2)是方程①、②组成的方程组的两个解.由y2-mx2=115x-3y=-6得159-mx2+4153x+3=0,当m=159时,显然不满足题意,当m≠159时,则x2+x2=-4153159-m,x1x2=3159-m.又OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,∴x1x2+y1y2=83x1x2+2153(x1+x2)+4=0,∴83·3159-m+2153-4153159-m+4=0;∴m=13,经验证,此时Δ>0;∴双曲线的方程为y2-x23=1.(2) x1+x2=-15x1x2=94,∴|AB|=1+k2·x1+x22-4x1x2=1+1532·-152-4·94=4.小结使用弦长公式时,一般可以利用根与系数的关系,解决此类问题,一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件,得到的k要保证满足相交,即验证Δ>0.跟踪训练2已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值及弦长|AB|.解由y=ax+13x2-y2=1消去y,得(3-a2...