1．直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C______________.相交于一点(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有____个公共点，此时称直线与双曲线________；Δ＝0⇒直线与双曲线有____个公共点，此时称直线与双曲线________；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线________．2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.两相交一相切没有相离探究点一直线与双曲线的位置关系问题1怎样判断直线与双曲线的位置关系？答案判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．问题2直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？答案不一定，平行于渐近线的直线若和双曲线相交，只有一个公共点，而不是相切．例1已知双曲线x2－y22＝1，直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？解设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)．由y＝kx＋1－k，x2－y22＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)当k2－2＝0，即k＝±2时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点．当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，若Δ＝0，即k＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k<32，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k>32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k＝±2或k＝32时，直线l与双曲线只有一个公共点；(2)当k<32且k≠±2时，直线l与双曲线有两个公共点；(3)当k>32时，直线l与双曲线无公共点．小结在讨论直线与双曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．跟踪训练1双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.求双曲线的离心率e的取值范围．解由x＋y＝1，x2a2－y2＝1消去y得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，由题意知1－a2≠0，4a4＋8a21－a2>0，得a∈(0,1)∪(1，2)．∴e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋1a2，∴e∈62，2∪(2，＋∞)．探究点二与弦长有关的问题例2设双曲线的顶点是椭圆x23＋y24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x－3y＋6＝0交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．(1)求此双曲线的方程；(2)求|AB|.解(1)已知椭圆的焦点为(0，±1)，即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y2－mx2＝1(m>0)①又直线15x－3y＝－6②A(x1，y1)、B(x2，y2)是方程①、②组成的方程组的两个解．由y2－mx2＝115x－3y＝－6得159－mx2＋4153x＋3＝0，当m＝159时，显然不满足题意，当m≠159时，则x2＋x2＝－4153159－m，x1x2＝3159－m.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋y1y2＝83x1x2＋2153(x1＋x2)＋4＝0，∴83·3159－m＋2153－4153159－m＋4＝0；∴m＝13，经验证，此时Δ>0；∴双曲线的方程为y2－x23＝1.(2) x1＋x2＝－15x1x2＝94，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1532·－152－4·94＝4.小结使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证Δ>0.跟踪训练2已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值及弦长|AB|.解由y＝ax＋13x2－y2＝1消去y，得(3－a2...
