第二节算术平均数和几何平均数知识自主·梳理最新考纲掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．高考热点1.以选择题或填空题的形式考查利用基本不等式求最值问题．2．以解答题形式考查求函数最值、证明不等式及解决实际问题.1.基本不等式设a、b∈R则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认识到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量式，应用广泛．2．均值不等式设a、b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，当且仅当时，不等式取等号．它的证明要能从1中得出，既是对1中a，b的灵活变式，又具有自身特点：a，b∈(0，＋∞)．a＝b3．灵活变式①a2＋b2(a＋b2)2；②aba2＋b22；③ab(a＋b2)2；④(a＋b2)2a2＋b22；⑤(a＋b)24ab.当且仅当a＝b时，各式中等号成立．≥≤≤≤≥4．利用两个定理求最大、最小值问题(1)x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最值2P.(2)x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最值S24.小大1．两个重要不等式成立的条件不同，在“a2＋b2≥2ab”中，a，b∈R，而在“a＋b2≥ab”中，a，b∈{正实数}．重点辨析2．“等号成立的条件”是掌握重要不等式的关键．“当且仅当a＝b时，取‘＝’号”含有两层意思：一是当a＝b时，取“＝”，二是取到“＝”时，必有a＝b.复习时应注意体会，因为有些式子虽可写成a＋1a的形式，但“＝”却永远取不到，这时就不能用重要不等式求最值．3．利用均值不等式求最值时，必须满足三个条件：①正数；②定值；③相等．其中正数一般是给定的，往往要进行添项、拆项等构造出定和或定积，才能应用．方法规律·归纳题型一用均值不等式证明不等式思维提示①a＋b2≥ab(a，b∈R＋)；②注意配凑均值不等式中的“和”与“积”的定值.例1已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)．[分析]本题可采用分析法，充分利用已知条件及均值不等式的证明．[解] a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＋c＝1，∴要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a]·[(a＋b＋c)＋b]·[(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a]·[(a＋b＋c)－b]·[(a＋b＋c)－c]．也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)① (a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证．[规律总结]证明不等式时，除了已知基本不等式的直接使用，还应掌握由已知不等式简单变形而得到的一些常用结论，如21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)；ba＋ab≥2(ab＞0)或ba＋ab≤－2(ab＜0)；(a＋b)(1a＋1b)≥4(a＞0，b＞0)；a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca等.备选例题1若本例条件不变，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.题型二利用均值不等式求最值或取值范围思维提示①和定积有最大值，积定和有最小值；②注意均值不等式应用的条件.[分析](1)观察条件和结论可知，将2a＋1＋2b＋1平方后，可以用条件和均值不等式求出最值；(2)观察条件和结论知，将条件和结论相乘可出现积为定值的和式，然后用均值不等式可求出最值；(3)把所求式展开，利用xy≤(x＋y2)2或f(x)＝x＋kx的单调性求出最值．[解](1)(2a＋1＋2b＋1)2＝2a＋1＋2b＋1＋2(2a＋1)(2b＋1)＝2(a＋b)＋2＋24ab＋2(a＋b)＋1＝4＋24ab＋3.因为a，b是正数，且a＋b＝1，所以ab≤(a＋b2)2＝14，∴(2a＋1＋2b＋1)2≤8，∴0＜2a＋1＋2b＋1≤22，当且仅当a＝b＝12时，(2a＋1＋2b＋1)max＝22.(2) a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，∴1a＋2b＝(1a＋2b)(a＋b)＝1＋2＋ba＋2ab≥3＋2ba·2ab＝3＋22，当且仅当a＋b＝1ba＝2ab，即a＝2－1b＝2－2时，(1a＋2b)min＝3＋22.(3)(a＋1a)(b＋1b)＝ab＋1ab＋ba＋ab＝ab＋1ab＋(a＋b)2－2abab＝2ab＋ab－2.令t＝ab，则0＜t＝ab≤(a＋b2)2＝14，不难证明f(t)＝2t＋t在(0，14]上单调递减，∴当t＝14时，f(t)＝2t＋t取最小值334，∴当a＝b＝12时，(a＋1a)(b＋1b)取最小值254.[规律总结]用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和...
