直接证明与间接证明2.2.:..,,证明与间接证明直接证明方法我们将学习两类基本的本节加以证明辑推理的方式须通过逻数学结论的正确性必科学的显著特点这正是数学区别于其他是需要证明的确性合情推理所得结论的正我们知道综合法和分析法1.2.2.,,用的思维方式也是解决数学问题时常法两种方是直接证明中最基本的综合法和分析法综合法1.abc4acbcba,0b,a:,,,2222求证已知例如结论通过推理推导出所要的义、公理、定理等出发某些数学定我们经常从已知条件和在数证明中.abc2cba,0a,bc2cb2222所以因为证明.abc2acb,0b,ac2ac2222所以又.abc4acbcba2222因此.methodlsynthetica,,,,这种证明方法叫做要证明的结论成立最后推导出所经过一系列的推理论证定理等学定义、公理、利用已知条件和某些数一般地综合法.,果法又叫顺推证法或由因导综合法:,Q,P表示为则综合法可用框图表示所要证明的结论等定义、公理、定理表示已知条件、已有的用1QP21QQ32QQQQn.ABCΔ,c,b,a,C,B,A,c,b,aC,B,A,ABCΔ1为等边三角形求证成等比数列成等差数列且对应的边分别为三个内角中在例;CAB2,C,B,A转化为符号语言就是成等差数列将分析这是个隐含条的内角为,ABCΔC,B,A;πCBA,明确表示出来是件.acb,c,b,a2转化为符号语言就是成等比数列.,.,,,,为工具进行证明可以用余弦定理于是余弦定理正好满足要求状进而判断三角形的形系步寻找角和边之间的关那么就可以进一来如果能把角和边统一起此时.CAB2,C,B,A有成等差数列由证明①.πCBA,ABCΔC,B,A所以的内角为因为②②①.3πB,得由③.acb,c,b,a2有成等比数列由④.accaBcosac2cab,22222可得由余弦定理及③,0ca,acacca,222即得再由④.CA.ca从而有因此⑤.ABCΔ.3πCBA,是等边三角形所以得由②③⑤.,.,,,出来表示把其中的隐含条件明显还要通过细致的分析形语言等或把符号语言转换成图转换成符号语言如把文字语言往往先作语言转换解决数学问题时分析法.2.PP,P;PP,P,PQ,Q,,Q,3222111为止、公理等已知条件、定理、定义的条件直到找到一个明显成立充分条件成立的再去寻求成立为了证明充分条件成立的再去寻求成立为了证明充分条件成立的即使成立的条件寻求保证反推回去出发还经常从要证明的结论证明数学命题时.0b,0aab2ba,就用了上述方法的证明基本不等式例如,ab2ba,ab2ba只需证要证,ab2ba0只需证.0ba只需证.,0ba因此原不等式成立显然成立由于).methodanalytical(.)(,,,,这种证方法叫做为止公理等、已知条件、定理、定义定一个明显成立的条件判把要证明的结论归结为直到最后的充分条件逐步寻求使它成立从要证明的结论出发一般地分析法.,因法又叫逆推证法或执果索分析法:,Q为则分析法可用框图表示表示要证明的结论用1PQ21PP32PP成立的条件得到一个明显.SCAF.F,SCE,E,SBA,BCAB,ABCSA,12.22求证垂足为垂线的作过垂足为的垂线作过平面所示如图例ABCSEF12.2图.,,,.,,,件当前命题成立的充分条寻求使逐步反推可以从结论出发这时较困难因而用综合法比它们确定如何在证明中使用我们不容易垂直条件较多中本例所给的已知条件分析.,,垂直的问题转化为证明直线与平面的问题线互相垂直通常可以把证明两条直在立体几何中ABCSEF12.2图.EFSC,AESC,AEFSC;BCAF,SBAF,SBCAF.AEFSCSBCAF,成立需要证面平要证成立要证需平面证要平面证或平面证可以考虑在本例中.AEFSC,AEFSC)"SCEF(F,SCE"这个方向努力平面可以朝证明因此一个所需要的两个条件中的平面已经满足了为符号语言就是转化垂足为的垂线作过而已知条件ABCSEF12.2图,AEFSCSCAF平面只需证要证证明,SBCAE平面只需证,SABBC平面只需证.SCAF,.,ABCSA所以上式成立可知平面由),(SCAE因为只需证),(BCAE因为只需证),(SABC因为只需证.,.,新认识你对这两种证明方法的说说回顾以往的数学学习它们各自的特点说出行比较请对综合法与分析法进思考..,QP.P,;Q,:,,下面来看一个例子成立就可以证明结...
