求直线的方程【例1】求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)直线l过点P(1,2),倾斜角是直线l1:3x+4y+5=0的倾斜角的一半;(2)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分.【解析】(1)设直线l的斜率为k,倾斜角为α.设直线l1:3x+4y+5=0的倾斜角为β,则tanβ=-34,且β=2α.由tanβ=tan2α=2tanα1-tan2α=-34,得tanα=-13或3.若tanα=-13,则90°<α<180°,从而180°<β<360°,不合题意,所以k=tanα=3.又直线l过点P(1,2),由点斜式得直线l的方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)方法1:设点A(x,y)在l1上,由题意知x+xB2=3y+yB2=0,所以点B(6-x,-y),解方程组2x-y-2=06-x+-y+3=0得x=113y=163,k=163-0113-3=8.所以所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法2:设所求的直线方程y=k(x-3),则y=kx-3k2x-y-2=0,解得xA=3k-2k-2yA=4kk-2;由y=kx-3kx+y+3=0,解得xB=3k-3k+1yB=-6kk+1.因为P(3,0)是线段AB的中点,所以yA+yB=0,即4kk-2+-6kk+1=0,所以k2-8k=0,解得k=0或k=8.又因为当k=0时,xA=1,xB=-3,此时xA+xB2=1-32≠3,所以k=0舍去,所以所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法3:设点A(x1,y1)在l1上,点B(x2,y2)在l2上,则2x1-y1-2=0x2+y2+3=0x1+x2=6y1+y2=0,解得x1=113y1=163或x2=73y2=-163,所以k=kAB=-163-16373-113=8,所以所求的直线方程为8x-y-24=0.本题考查直线方程的基础知识和基本方法,主要考查点斜式和两点式.第(1)问已知直线过一定点,倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半,用三角函数公式可以把它们的斜率联系起来,故而想到设点斜式方便一些.应该注意的是,倾斜角是另一直线的倾斜角的一半,并不意味着斜率也是一半!本小题方法较多.第一种方法是:设点A(x,y)在l1上,则点A关于点P的对称点B(6-x,-y)在l2上,代入l2的方程,联立求得交点,从而求得直线方程.【变式练习1】过点M(2,4)作两条互相垂直的直线,分别交x、y的正半轴于A、B,若四边形OAMB的面积被直线AB平分,求直线AB方程.【解析】设方程为xa+yb=1(a>0,b>0)所以A(a,0)、B(0,b).因为MA→⊥MB→,所以(a-2)·(-2)+(-4)·(b-4)=0⇒a=10-2b,因为a>0,0-1,直线l与x、y轴分别交于M、N两点,求△OMN面积取最大值时,直线l的方程.【解析】(1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时2+a=0,解得a=-2,此时直线l的方程为x-y=0;当直线l不经过坐标原点,即a≠-2时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得:2+aa+1=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.所以,直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.(2)由直线方程可求得M(2+aa+1,0)、N(0,2+a),又因为a>-1,故S△OMN=12×2+aa+1×(2+a)=12×a+12+2a+1+1a+1=12×[(a+1)+1a+1+2]≥12×[2a+1×1a+1+2]=2,当且仅当a+1=1a+1,即a=0或a=-2(舍去)时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.(1)截距相等,包括过原点的情形;(2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证.【变式练习2】已知直线l过点M(1,1),且与x轴的正半轴交于A点,与y轴的正半轴交于B点,O是坐标原点.求:(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.1(00).111,1...