求直线的方程【例1】求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)直线l过点P(1,2)，倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半；(2)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分．【解析】(1)设直线l的斜率为k，倾斜角为α.设直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角为β，则tanβ＝－34，且β＝2α.由tanβ＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34，得tanα＝－13或3.若tanα＝－13，则90°<α<180°，从而180°<β<360°，不合题意，所以k＝tanα＝3.又直线l过点P(1,2)，由点斜式得直线l的方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.(2)方法1：设点A(x，y)在l1上，由题意知x＋xB2＝3y＋yB2＝0，所以点B(6－x，－y)，解方程组2x－y－2＝06－x＋－y＋3＝0得x＝113y＝163，k＝163－0113－3＝8.所以所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.方法2：设所求的直线方程y＝k(x－3)，则y＝kx－3k2x－y－2＝0，解得xA＝3k－2k－2yA＝4kk－2；由y＝kx－3kx＋y＋3＝0，解得xB＝3k－3k＋1yB＝－6kk＋1.因为P(3,0)是线段AB的中点，所以yA＋yB＝0，即4kk－2＋－6kk＋1＝0，所以k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.又因为当k＝0时，xA＝1，xB＝－3，此时xA＋xB2＝1－32≠3，所以k＝0舍去，所以所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.方法3：设点A(x1，y1)在l1上，点B(x2，y2)在l2上，则2x1－y1－2＝0x2＋y2＋3＝0x1＋x2＝6y1＋y2＝0，解得x1＝113y1＝163或x2＝73y2＝－163，所以k＝kAB＝－163－16373－113＝8，所以所求的直线方程为8x－y－24＝0.本题考查直线方程的基础知识和基本方法，主要考查点斜式和两点式．第(1)问已知直线过一定点，倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半，用三角函数公式可以把它们的斜率联系起来，故而想到设点斜式方便一些．应该注意的是，倾斜角是另一直线的倾斜角的一半，并不意味着斜率也是一半！本小题方法较多．第一种方法是：设点A(x，y)在l1上，则点A关于点P的对称点B(6－x，－y)在l2上，代入l2的方程，联立求得交点，从而求得直线方程．【变式练习1】过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x、y的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程．【解析】设方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)所以A(a,0)、B(0，b)．因为MA→⊥MB→，所以(a－2)·(－2)＋(－4)·(b－4)＝0⇒a＝10－2b，因为a>0,0－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最大值时，直线l的方程．【解析】(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得：2＋aa＋1＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.所以，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.(2)由直线方程可求得M(2＋aa＋1，0)、N(0,2＋a)，又因为a>－1，故S△OMN＝12×2＋aa＋1×(2＋a)＝12×a＋12＋2a＋1＋1a＋1＝12×[(a＋1)＋1a＋1＋2]≥12×[2a＋1×1a＋1＋2]＝2，当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0或a＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.(1)截距相等，包括过原点的情形；(2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证．【变式练习2】已知直线l过点M(1,1)，且与x轴的正半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点．求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．1(00).111,1...
