3．3导数在研究函数中的应用3．3.1函数的单调性与导数学习目标1.了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．课堂互动讲练知能优化训练3.3.1课前自主学案课前自主学案温故夯基1．函数y＝x2－2x的单调递增区间是_________，单调递减区间是_________．2．函数f(x)＝sinx的导数f′(x)＝_____；在区间0，π2上，f(x)单调递____(填“增”或“减”)，f′(x)___0(填“>”或“<”)．>[1，＋∞)(－∞，1]cosx增知新益能般地，在某个区间(a，b)内，函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)＞0单调_______f′(x)＜0单调_______f′(x)＝0常数函数增函数减函数在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0“处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0”是“y＝f(x)”在某个区间上递增的充分不必要条件．问题探究课堂互动讲练判断函数的单调性考点突破关于函数单调性的证明问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.例例11证明：函数y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．【思路点拨】证明函数f(x)在某区间上是递增的,只需证明f′(x)≥0.【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．互动探究把本例中lnx改为ex，其他条件不变，判断函数的单调性．解：f(x)＝ex＋x，显然定义域为R.由f′(x)＝(ex＋x)′＝ex＋1，且当x∈R时，f′(x)>1>0.故函数在其定义域内是单调递增函数．求函数的单调区间利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．例例22求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．【思路点拨】解答本题可先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0,并与定义域求交集，从而得到相应的单调区间．【解】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)>0，即2·3x2－1x>0，解得－3333.又∵x>0，∴x>33.令f′(x)<0，即2·3x2－1x<0，解得x<－33或00，∴00，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝2x3－16x2≥0(x∈[2，＋∞)，有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是a≤16.方法感悟利用导数研究函数单调性时应注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
