11.1空间几何体11.1.6祖暅原理与几何体的体积第十一章立体几何初步学习目标1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解“祖暅”原理，将空间问题转化为平面问题.2.知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题.重点：棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，“祖暅原理”的思想方法.难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用.知识梳理幂势既同，则积不容异.一、祖暅原理一定相等夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积，如图所示.柱体的体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝.锥体的体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝.台体的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为.球的体积：如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝.Sh二、体积公式ShV台体＝（S2++S1）hπR3例1一多面体的体积的计算常考题型如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，ABA∶1B1＝12∶，求三棱锥A1-ABC、三棱锥B-A1B1C、三棱锥C-A1B1C1的体积之比.【解题提示】𝐴𝐵:𝐴1𝐵1=1:2𝑆△𝐴𝐵𝐶:𝑆△𝐴1𝐵1𝐶1=1:4计算计算计算【解】设棱台的高为h，SABC△＝S，则＝4S.∴＝SABC△·h＝Sh，＝·h＝Sh.又V台＝h（S+4S+）＝Sh，∴＝V台--＝Sh--Sh＝Sh，∴∶∶＝124.∶∶解题归纳多面体体积计算的常用方法（1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.（2）三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.（3）求台体体积的关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分利用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.1.变式训练［2019·云南师大附中高三月考］已知一个三棱锥的两条棱长为1，其余四条棱长均为2，则该三棱锥的体积是（）A.B.C.D.B2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1到截面C1BD的距离.【解】如图，连接D1B.设D1到截面C1BD的距离为h，则＝·h＝·（a）2h＝a2h，＝·BC＝a3.又＝，故a2h＝a3，解得h＝a，即D1到截面C1BD的距离为a.解题归纳【方法技巧】三棱锥的任意一个面都可以作为底面，此面所对的顶点到该面的距离即为高，因此可用体积相等这一关系求得点到平面的距离.例2二简单组合体的结构特征设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解题提示】要求圆台的体积需求上、下底面的半径，由题目条件可在轴截面中构造直角三角形求解.【解】如图，作轴截面A1ABB1，设圆台上、下底面半径及母线长分别为r，R，l.作A1DAB⊥于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°， AD＝，∴R-r＝.又 ∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴BD＝，∴R+r＝.∴R＝，r＝.∴V圆台＝·A1D＝π×[+×3＝21π.∴圆台的体积为21π.变式训练［2019·福建龙岩高三模拟］母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为（）A.16πB.8πC.D.A三组合体的表面积和体积的计算<1>组合体的表面积例3如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积.【解】由题意知旋转所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.又S半球面＝×4π×22＝8π（cm2），S圆台侧＝π（2+5）＝35π（cm2），S圆台下底＝π×52＝25π（cm2），所以所成几何体的表面积为8π+35π+25π＝68π（cm2）.解题归纳名师点拨有的组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的直接求和，原因是其接合部分并不裸露在表面.变式训练［2019·辽宁沈阳高一期末］在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为（）A.8π+6+B.6π+6+C.8π+4+D.6π+4+C如图所示，在多面体ADE-BCF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB∥，EF＝，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积V＝（）A....
