函数的单调性高中数学必修一（人教版）湖南省醴陵市第一中学510班谭艺茜一、知识梳理(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x10（或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0）⇔f(x)在D上____________；②<0（或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0）⇔f(x)在D上__________.1212fxfxxx单调递增1212fxfxxx单调递减判一判(1)函数的单调递减区间为(-∞,0)(0,+∞).∪()(2)函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为[a,b].()(3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)g(x)也是增函数.()(4)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函数.()xy1×××√练一练（1）利用函数单调性定义证明函数在[1,2]上为单调递增函数并求出最值；（2）函数的单调递减区间是．（3）函数的单调递增区间是.（4）函数的单调递减区间是.12)(xxxf)132(log221xxy322xxyxxyln212),1()1,0(),1,()1,0(34,1二、讲练互动考点1.函数的单调性例1、试讨论函数的单调性（其中）.)1,1(,12xxaxy0a解：（定义法）设x1,x2∈(-1,1)且x10,x12-1<0,x22-1<0,-10,所以21122212axxxx1.x1x121122212xxxx10.x1x1＞因此当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,f′(x)<0;当a<0时,f′(x)>0.所以当a>0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a<0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.2222222ax12axax1.x1x1解：(定义法)设-10时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1,1)上递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,f′(x)<0;当a<0时,f′(x)>0.所以当a>0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a<0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.2)1(xa考点2.利用单调性求参数例2、函数在(-1,+∞)上单调递增,求实数的取值范围。25axxya解：函数由函数在(-1,+∞)上单调递增，有解得。)2(3125axaaxxy1203aa3a变式2、已知函数在区间(－∞，3)上是减函数，求的取值范围。5)3(42)(2xaaxxfa解：当时，，在上是减函数；当时，由，得.综上，的取值范围是。0a512)(xxf)3,(0a34)3(40aaa430aa430a解：由题意知是R上的单调递增函数，所以解得：。例3、已知函数，若求实数的取值范围。0,40,4)(22xxxxxxxf)()2(2afafa)(xfaa2212a变式4、已知函数是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,求满足的的取值范围。)(xf)31()12(fxfx解：由题意，得解得。2x1012x1,3，3221x课堂小结：1.确定函数的单调区间的方法(1)定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求.(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的升、降写出它的单调区间.(3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.(4)复合函数：同增异减.2.利用函数单调性求参数取值范围(1)根据图像平移的特点：左加右减，上加下减；(2)把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数“的单调性去掉f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.作业：《作业与测评》——五、函数的单调性与最值A组
