高中数学 24 数学归纳法课件 理 新人教A版选修2-2 课件VIP免费

2.3数学归纳法问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:完全归纳法不完全归纳法11,11,2,...1nnnnaaaana对于数列已知，猜想其通项公式111a212a1nan313a…问题情境一（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。说明：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？想一想：例如：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）问题情境二P92思考思考:问题2中证明数列的通项公式这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?1nan由条件知,n=1时猜想成立.1kak111kak如果n=k时猜想成立,即,那么当n=k+1时猜想也成立,即事实上,1111111kkkakaakk即n=k+1时猜想也成立.对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法【归纳递推】【归纳奠基】0nn验证时命题成立01nkknnk若时命题成立证明时命题也成立归纳奠基：归纳递推0nn命题对从开始所有的正整数都成立框图表示（二）、数学归纳法的步骤根据(1)(2)知对任意的时命题成立。0nNnn且注：（1）证明当取第一个值或时结论正确n00(12)nn（2）假设当时结论正0(,)nkkNkn且确，并证明当时结论也正确。1nk两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。（1）（2）分析：即11kaakd（2）假设当时命题成立，(1kN*)nkk且即成立吗？1111kaakd那么当时命题成立吗？1nk（1）当时，成立吗？11naand1n等差数列的通项公式为。例1：用数学归纳法证明首项为，公差为的na1a1(1)naandd1(1)kaakd根据(1)(2)知当对任意的命题成立。nN（1）当时，左边，右边，证明：1kkaad1akd1(1)akdd1(1)1akd命题成立。（2）假设当时命题成立，即1n1a110ada*(1kN)nkk且那么当时，1nk即当时命题成立。1nk（依据）（结论）（传递性）2135..........(21)nn证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是2112135.........(21)kk那么例2.用数学归纳法证明:当nN222135...........(21)[2(1)1][2(1)1]21(1)kkkkkkk这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN∈＊都成立。如下证明对吗？证明：①当n=1时，左边＝1右边＝1等式成立。②设n=k时，有2135.........(21)kk2135...........(21)[2(1)1][12(1)1](1)2(1)kkkkk即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对nN∈＊，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。1）第一步应做什么？此时n0=，左=，2）假设n=k时命题成立，即2222(1)(21)1236kkkk当n=k时，等式左边共有项，第k项是。kk2思考？2222(1)(21)1236nnnn112例3用数学归纳法证明nN3）当n=k+1时，命题的形式是22222123(1...