方程有解问题VIP专享VIP免费

例析数形结合法巧解方程解的个数或范围问题湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 王爱民 刘亚明 例 1、关于 x 的方程有两解，求 m 的范围。分析：一般的解法是将去绝对值符号，讨论：（1）m<5,m 无解（2）m=5,显然成立 （3）,变成所以有两根，无根，（即解得 m>9）或，都只有一根（，m 无解）或无根，有两根（，m 无解）所以 m>9 或 m=5显然这种解法比较复杂，容易漏解，容易出错。而改用将“数”转“形”，则行如“探囊取物”解：令则 f(x),g(x)的图象如图所示：所以有两个根必须 或 所以 m>9 或 m=5注意：在构造函数时要构造函数图象是我们熟悉的，并且能画出来的例 2、求的解的个数（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个分析：，所以有 3 个解。例 3. 已知，则方程的实根个数为01aaxxa| ||log|() A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 1 个或 2 个或 3 个g(x)=m-54(3,0)(-1,0)27 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画yayxxa| ||log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选（B）。例 4. 若方程在内有唯一解，求实数 m 的取值范围。解：原方程可化为设在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知的图象只有一个公共点，可见 m 的取值范围是或。例 5. 关于 x 的方程有三个不相等的实数根，则实数 a 的值是 .解析：．如图所示，要使关于 x 的方程有三个不相等的实数根，则与的图像必有三个不同的交点，所 以的 图 像 经 过 (1,0) 或 者的 图 像 与的 图 像 在 [1,3] 上 相 切 。 从 而 可 得 实 数. 2.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-0.50.511.522.533.54h x  = x-34 g x  = x-1f x  = x2-4x+3例 6．方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ）A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，+∞)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图 2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除 A，D．至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比 较 困 难 了 ． 实 际 上 这 是 要 比 较与 2 的 大 小 ． 当 x=2 时 ，lgx=lg2 ，3-x=1．由于 lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选 C．说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．电子邮箱 周友良 zyl2518006@126.com, 手机号码 13037341167 ； 湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 王爱民 刘亚明