§12.3 几何概型 基础知识 自主学习 要点梳理 1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ( 或 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 . 长度 面积 体积 几何概型 2．几何概型中，事件 A 的概率计算公式 P(A)＝ . 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 4．几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关． 5．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量，然后代入公式即可求解． [难点正本 疑点清源] 1．古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关． 2．解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”．几何概型问题易错的根本原因是找不准“测度”． 基础自测 1．方程 x2＋x＋n＝0 (n∈(0,1))有实根的概率 为________． 解析 方程有实根，则 Δ＝12－4n≥0， 即 n≤14，又 n∈(0,1)， ∴方程有实根的概率为14. 14 2．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数 x，则 x∈[0，1]的概率为________． 解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率 P＝|CD||AB|＝13. 13 3．如图所示，在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形 内的概率是________． 解析 大正方形的面积为 9 cm2， 小正方形的面积为 4 cm2， ∴P(A)＝49. 49 4．ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( ) A.π4 B．1－π4 C.π8 D．1－π8 解析 如图，要使图中点到 O 的距离大于 1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为 P＝2－π22 ＝1－π4. B 5．在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 内任取一点 P，...
