《2.3.1 双曲线的标准方程》 导学案教学过程一、 问题情境问题1 前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题？解 椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法，并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.问题2 下面我们来学习双曲线，应该先研究什么问题呢？解 先研究双曲线的标准方程，如何求双曲线的标准方程呢？如何建立直角坐标系？二、 数学建构1.标准方程的推导设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(c>a>0).类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.以直线F1F2为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系，则F1(-c，0)，F2(c，0).设P( x，y)为双曲线上任意一点，由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a，即|-|=2a.[1]在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时，结合双曲线定义中2a<2c，可知c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2 ，使化简后的标准方程简洁美观，最后得到焦点在x轴上的双曲线标准方程是 - =1(其中a>0，b>0，c2=a2+b2).若焦点在y轴上，则焦点是F1(0，-c)，F2(0，c)，由双曲线定义得|-|=2a，与焦点在x轴上的双曲线方程|-|=2a比较，它们的结构有什么异同点？解 结构相同，只是字母x，y交换了位置.故求焦点在y轴上的双曲线方程时，只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x，y互换即可，易得 - =1(其中a>0，b>0，c2=a2+b2).2.双曲线标准方程的特点(1)双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种:当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为 - =1(a>0，b>0)；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 - =1(a>0，b>0).(2)a，b，c有关系式c2=a2+b2成立，且a>0，b>0，c>0，其中a与b的大小关系可以为a=b，ab.3.根据双曲线的标准方程判断焦点的位置从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2，y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴，而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.三、 数学运用【例 1】 讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于，，则 的取值范围为，，，分别进行讨论．解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）k>25，，时，所给方程...
