本章优化总结专题探究精讲章末综合检测本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲解三角形常见类型在三角形的六个元素中，已知三个 ( 除三角外 ) 才能求解，常见类型及其解法如下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角 ,如a ， B ， C正弦定理由 A ＋ B ＋ C ＝ 180° ，求 A ，由正弦定理求出b 与 c. 在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角 ,如a ， b ， C余弦定理正弦定理由余弦定理求出第三边 c ，由正弦定理求出较小边所对的角，再由 A ＋ B ＋ C ＝180° ，求出另一角，在有解时只有一解三边 a ， b ，c余弦定理由余弦定理求出 A ， B ，再利用 A ＋ B ＋ C ＝ 180° ，求出 C. 在有解时只有一解两边和其中一边的对角 ,如a ， b ， A正弦定理由正弦定理求出 B ，由 A ＋B ＋ C ＝ 180° ，求出 C ，再利用正弦定理求出 c. 可有两解、一解或无解例例 11 已知△ABC 的面积为 1，tanB＝12，tanC＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积． 【解】 由 tanB＝12，知 0＜B＜π2，所以 sinB＝ 55 ， cosB＝2 55 .又由 tanC＝－2，知π2＜C＜π， 所以 sinC＝2 55 ，cosC＝－ 55 . 所以 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC ＝ 55 ×(－ 55 )＋2 55 ×2 55 ＝35. 又 asinA＝ bsinB，所以 a＝b·sinAsinB ＝3 55 b. 所以 S△ABC＝12absinC＝12×3 55 b2×2 55 ＝1. 得 b＝ 153 ，所以 a＝ 3. 由正弦定理，得 c＝a·sinCsinA ＝2 153， 且 2R＝ asinA＝5 33 .所以 R＝5 36 . 外接圆面积 S＝πR2＝2512π. 【点评】 (1) 应熟练掌握正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用．(2) 三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．判断三角形的形状判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解，在解三角形时常用的结论有：1 ．在△ ABC 中，∠ A ＞∠ B⇔ a ＞ b⇔ sinA＞ sinB⇔ cosA ＜ cosB.2．在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝π，∠A＋∠B＝π－∠C，∠A＋∠B2＝π2－∠C2 ，则 cos(A＋B)＝－cosC，...
