2.2.2 反证法 一．反证法证明命题“设 p 为正整数，如果 p2 是偶数 , 则 p 也是偶数”，我们可以不去直接证明p 是偶数，而是否定 p 是偶数，然后得到矛盾，从而肯定 p 是偶数。具体证明步骤如下：假设 p 不是偶数，可令 p=2k+1 ， k 为整数。可得 p2=4k2+4k+1 ，此式表明， p2 是奇数，这与假设矛盾，因此假设 p 不是偶数不成立，从而证明 p 为偶数。 一般地，由证明 pq 转向证明：qrt t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法。 q例 1 ．证明 不是有理数。2证明：假定 是有理数，则可设 ,其中 p ， q 为互质的正整数，22pq 把 两边平方得到， 2q2=p2 ， ①2pq① 式表明 p2 是偶数，所以 p 也是偶数，于是令 p=2l ， l 是正整数，代入①式，得 q2=2l2 ， ②② 式表明 q2 是偶数，所以 q 也是偶数，这样 p ， q 都有公因数 2 ，这与 p ， q 互质矛盾，因此 是有理数不成立，于是 是无理数 .22 例 2 ．证明质数有无穷多个。证明：假定质数只有有限多个，设全体质数为 p1 ， p2 ， p3 ，……， pn ，令 p= p1p2p3……pn+1 ，显然 p 不含因数 p1 ，p2 ， p3 ，…， pn ， p 要么是质数，要么含有除 p1 ， p2 ， p3 ，…， pn 之外的质因数。因此质数只有有限多个不成立，于是质数有无穷多个。 从上述两例看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性。 二．反证法的主要步骤(1) 反设： 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是 / 不是；存在 /不存在；平行于 / 不平行于；垂直于 / 不垂直于；等于 / 不等于；大 ( 小 ) 于 / 不大( 小 ) 于；都是 / 不都是；至少有一个 / 一个也没有；至少有 n 个 / 至多有 (n 一 1)个；至多有一个 / 至少有两个；唯一 / 至少有两个。 (2) 归谬： 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 (3) 结论：由前两步，得到正确的结论，一点要在前面的基础上肯定结论的真...
