等比数列的前 n 项和 数学小故事: 国际象棋起源于印度。棋盘上共有 8 行 8 列构成 64 个格子。传说国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在棋盘的第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在棋盘的第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,在棋盘的第 4 个格子里放上 8 颗麦粒,以此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第64 个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国王有能力满足发明者的上述要求吗?国际象棋棋盘而所要求的“ 64 个格子所放的麦粒数总和”就是求这个等比数列前 64 项的和 . 问题:求2363641 2222?S 如果将棋盘各格子所放的麦粒数看成一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是 1 ,公比是 2.二、新课讲解:2363641 2222S 式子两边都乘以 公比 2得236364642 2 22 2 2S①② 由②-①得646421S =-而641964 21 18,446,744,073,709,551,615 1.84 10S=-= 假定千粒麦子的质量为 40 克,那么麦粒的总质量超过了 7000 亿吨,是全世界 1000 多年的小麦总产量 . 因此,国王不可能实现他的诺言 .1nnaan对于等比数列首项,公比q,前 项和S123nnSaaaa211111 nnSaa qa qa q 根据等比数列的通项公式,上式可写成① 211111nnnqSa qa qa qa q② 由① -② 得 1nnqq (1- )S等式两边能否同除以( 1-q )?11,nqSna(1)当时11,nnaqqSq (1-)(2)当时1-需要分类讨论!11,nqSna(1)当时11 ,nnaqqSq (1- )(2)当时1-因为11nnaa q 1nnaa qSq-或1-①② 1, , a q n若已知则选用公式 ① ; 1, ,na q a若已知则选用公式 ② .三、等比数列前 n 和公式的应用例题 1 、求下列等比数列前 8 项的和: 111(1),,,;248 111(1),,822aqn解: 因为所以当时,818(1)1aqSq8111 ( )25522.125612191(2)27,,0.243aaq191(2)27,,0.243aaq例题 1 、求下列等比数列前 8 项的和: 8191127,, 27.243243aaq解:(2)由可得=.1又由q<0,可得q=- 3于是当n=8时,818(1)1aqSq8127 1 ()16403.1811 ()3 1819811aa qaaSqq或12...