高等数学教案第 1 页 共 31 页第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。§2. 1 导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻t0 的速度考虑比值0000)()(tttftfttss这个比值可认为是动点在时间间隔t t0 内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实高等数学教案第 2 页 共 31 页践中也可用来说明动点在时刻t0 的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 tt00取比值00)()(tttftf的极限如果这个极限存在设为 v即00)()(l i m0tttftfvtt这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0 的速度2．切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M在点 M 外另取 C 上一点 N作割线 MN当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时如果割线 ＭＮ绕点 Ｍ旋转而趋于极限位置MT直线 ＭＴ就称为曲线 Ｃ有点 Ｍ处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0 f(x0))处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线 MN 的斜率为0000)()(t a nxxxfxfxxyy其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0时上式的极限存在设为 k即00)()(l i m0xxxfxfkxx存在则此极限 k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan 其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0))且以 k 为斜率的直线MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两...
