第 1 页 共 42 页第十一章无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10．掌握,sin,cosxexx， ln(1)x 和 (1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l] 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin ,cosxexx ， ln(1)x 和 (1)a的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。教学难点 ：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；第 2 页 共 42 页4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。§11 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数给定一个数列u1 u2 u3un则由这数列构成的表达式u1 u2u3un 叫做 (常数项 )无穷级数简称 (常数项 )级数记为1nnu即3211nnnuuuuu其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项级数的部分和作级数1nnu 的前 n 项和nniinuuuuus3211称为级数1nnu 的部分和级数敛散性定义如果级数1nnu 的部分和数列}{ ns有极限 s 即ssnnlim则称无穷级数1nnu 收敛这时极限 s 叫做这级数的和并写成3211nnnuuuuus第 3 页 共 42 页如果}{ns没有极限则称无穷级数1nnu 发散余项当级数1nnu 收敛时其部分和 s n 是级数1nnu 的和 s 的近似值它们之间的差值rn s sn un 1 un 2叫做级数1nnu 的余项例 1 讨论等比...
