3.1 （做题人：韩丽芳校对人：胡相英）(好 )幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1 的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。证明：设算符 U 为幺正算符，为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。即uU则uuUUUU因0，所以1uu即1u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1 的复数。设算符 U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为1 、2，且21uu。则111uU11111uU222uU22211uU因为幺正算符1UU则有21212121uuUU2121211uuUU所以01212121uuuu因为012121uuuu，故021，即1 和2正交。即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)解：投影于某一子空间的投影算符miiiP1，设全空间是n 维的，且nm。则本征值方程miiiP1⑴其中为本征值，为相应的本征态。则22PP⑵由幺正算符等幂性PP2得PP2⑶由⑴、⑵和⑶式得2，所以1或0 。即求得投影算符的本征值是1 或 0。当1时，本征失量是i ，其中mi,2,1。所以是简并的， 本征子空间 S 是由这 m个基 矢构成的矢量空间。当0 时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。# 练习 3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意| φ >，则定义域有 | ψ >存在即AA1Q 已知 A 的全部本征值和相应的本征矢量：iiiaA i=1 ，2，3⋯，AaAAQ 算符 A存在零本征值，即00aa对于任意本征矢量aA与Aa矛盾假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。# 练习 3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在 n 维空间中的一个完全矢量集｛i｝，（i归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3⋯ ,n ）, 若从其中去掉一个矢量，例如去掉1 ，就不再是完全集。 （做题者：杨涛审题人：吴汉成）证明：假设在n 维空间中的一个完全集i去掉一个矢量1后仍是完全集新的矢量集23,,...n是线性无关的，即22nniiiiiic我们把1 加入完全矢量集23,,...n成立一个新集合i，Q23,,...n是完全集。则1 肯定能表为23,,...n的线性叠加新集合i是线性相关的与它是线性无关相矛盾。在 n 维空间中的一个完全集i去掉一个矢量1后不是完全集#3.5、在有限维空间中，有A 和 B 两个相互对易的厄米算符。它们的全部线性无关的正交归一化本征矢量...
