省丹中数学 选修４－２ 2025-03-06课时 5 旋转变换【教学目标】1、掌握旋转变换的矩阵表示及其几何意义；2、从几何上理解二阶矩阵对应的变换是线形变换；3、会证明二阶矩阵对应的变换把直线变成变成直线，或者把直线变为点【教学过程】一、问题情境 如图所示，假设大风车的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，已知大风车上一点 P(x,y),它绕 O 点逆时针旋转 θ 角到点 P’(x’,y’),点的位置变化可以看作一个几何变换，怎么用矩阵来刻画这一变换？不妨设 OP 与 x 轴交角为，，则有。又因为，故有 将上式展开，并将代入，有即 二、数学建构旋转变换矩阵和旋转变换矩阵通常叫做旋转变换矩阵，对应的变换称做旋转变换，其中的角叫做旋转角，点 O 叫做旋转中心。旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状。旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定。显然，绕定点作旋转的变换相当于关于定点作中心反射变换。三、例题讲解例1．已知，求矩形 ABCD 绕原点逆时针旋转后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图1( , )P x y ( , )P x y0xy123省丹中数学 选修４－２ 2025-03-06思考：将条件改为矩形 ABCD 绕原点顺时针旋转 30°,其结果又会如何？例 2．（1）矩阵表示什么变换？（2）当 θ=30°和 θ=75°时画出下图变换的结果； (3)你能求出表示绕原点逆时针旋转 60°的矩阵吗？(4) 你能求出表示绕原点顺时针旋转 60°的矩阵吗？【课后练习】1．研究直角坐标平面内正方形 OBCD 在矩阵对应的变换作用下得到的几何图形，其中2．求出曲线 xy= -1 绕原点逆时针旋转 90°后得到的曲线，及变换对应的矩阵。3. 求下图对应的矩阵变换, 画出图 1 绕原点逆时针旋转 60°得到的图形。作业；书 P33 7-82
