10.1 分类计数原理与分步计数原理 ［设置情境］ 先看下面的问题： 2002 年夏季在韩国与日本举行的第 17 届世界杯足球赛共有 32 个队参赛．它们先分成 8 个小组进行循环赛，决出 16 强，这 16 个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法． 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理．［探索研究］ 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有 3 班，汽车有 2 班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 一般地，有如下原理： 分类计数原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，…，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．12nN=m+m++m问题 2 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有 3 班，汽车有 2 班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．12nN=mmm分步计数原理（乘法原理）分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于： 分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 例 1 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书．（ 1 ）从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？（ 2 ）从书架的第 1 、 2 、 3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？（ 3 ）从书架上任取 2 种不同类型的书各 1 本，有多少种不同的取法？解 : (1)4+3+2=9 (2)4×3×2 ＝ 24 (3)4×3 ＋ 4×2 ＋ 3×2 ＝ 26 ...
