等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-1：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F。（1）求证：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式1：等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于，连CQ交AB于M。（1）求证：M为BE的中点（2）若PC=2PB，求的值（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：(2)(3)(1)DDEECCECABBAABDEFFED(2)(1)CCABBA(2)FEDCBAABCDEF(1)1-2：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，交AC于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。（1）求证：BG=AF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式1：如图，在R△ABC中，∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。变式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F连接DF，求证：∠1=∠2。模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边GGBACDEF(2)(1)FEDCBA等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形2-1：连接AD，求证：∠ADB＝45°。变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M，（1）求的值；（2）求的值。模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：ABCDEABCDEEDCBA(1)(2)(3)ABCDEF(2)(1)FEDCBA3-1：如图1，△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º，连接AF、CF，M是AF的中点，连ME，将△BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明；（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90º。把DE平移到CF，使E与C重合，连接AE、AF，则△AEB与△AFC全等（关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF）3-2：如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE。（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关系是；（2）如图2、3，将⊿BAC绕A旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。EDCBA(3)FEDCBA(2)FF(1)ABCDE图（1）MFEBCA图1PEDCBAABCDEP图2ABCDEP图3(3)ABCDE(2)ABCDEEDCBA(1)AFBDEC【经典模型】在△BAC中，AB=AC，且∠BAC=90°有一点D满足∠BDC=90°：（1）当点D在边BC下面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？（2）当点D在边BC上面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？推广：（1）△ABC为等边三角形，D为BC下面一点且∠BDC=120°，此时呢？（2）△ABC为等腰三角形，D为BC下面一点且∠BDC=60°，此时又如何？【猜想】在运算中是否发现，，有某种数量上的对应关系？【巩固练习】1．如图，在中，,∠,、为上两点，∠，为外一点...
