全国初中数学竞赛辅导(初2)第09讲_一元二次方程VIP免费

初中数学学科网（www.223t.com）第九讲 一元二次方程 一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法． 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程． 一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法 对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac 称为该方程的根的判别式．当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根，即 当△=0 时，方程有两个相等的实数根，即 当△＜0 时，方程无实数根． 分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解． 因为 所以 初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） 例 2 解关于 x 的方程： x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0． 解 用十字相乘法分解因式得 [x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0， 所以 x1=p(p-q)，x2=q(p+q)． 例 3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0 的较大根为 a，方程x2+1998x-1999=0 的较小根为 β，求 α-β 的值． 解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0 得(20002x+1)(x-1)=0， (x+1999)(x-1)=0， 故 x1=-1999，x2=1，所以 β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000． 例 4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)． 分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1， 所以 x=-2，这样就丢掉了 x=1 这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下． 解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0， (x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0， (x-1)(x+2)=0， 所以 x1=1，x2=-2． 例 5 解方程：x2-3｜x｜-4=0． 分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．初中数学学科网（www.223t.com）初中数学学科网（www.223t.com） 解法 1 显然 x≠0．当 x＞0 时，x2-3x-4=0，所以 x1=4，x2=-1(舍去)．当 x＜0 时，x2+3x-4=0，所以 x3=-4，x4=1(舍去)． 所以原方程的根为 x1=4，x2=-4． 解法 2 由于 x2=｜x｜2，所以 ｜x｜2-3｜x｜-4=0， 所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0， 所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)． 所以 x1=4，x2=-4． 例 6 已知二次方程 3x2-(2a-5)x-3a-1=0 有一个根为 2，求另一个根，并确定 a 的值． 解 由方程根的定义知，当 x=2 时方程成立，所以 3×22-(2a-5)×2-3a-1=0， 故 a=3．原方程为 3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，...