高三数学导数的应用(一)单调性与极值例题解析一. 本周教学内容：导数的应用（一）单调性与极值1. 函数的单调性一般地，设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数，如果在某个区间内恒有，则为常数。 2. 函数的极值一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，就称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有的点，都有就称是函数的一个极小值，记作。极大值和极小值统称为极值。判别是极大（小）值的方法是：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值。导数为 0 的点不一定是极值点，例如函数，处的导数是 0，但非极值点。求可导函数的极值的步骤如下：（1）求导数（2）求出方程的根（3）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，那么这个根不是极值点。【典型例题】[例 1] 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？解：令，解得或令，解得故函数在和为增函数，在为减函数[例 2] 研究函数的单调性。解：当时，，则函数在（，）上是增函数当时，，则在（，）上是增函数当时，，则在（，）和（，）上是增函数，在（，）上是减函数。[例 3] 已知的单调区间。解：（1）当时，即，故在（0，）为减函数（2）当时， 由解得由解得故函数在（，1）是减函数，在（1，）上是增函数。其图象如下[例 4] 已知（其中 为常数）试求：（1）的极大值；（2）若的极大值为 5，求 的值；（3）曲线过原点的切线的方程。解：（1），对一元二次函数，它的判别式一元三次函数有极值的充要条件是有两相异实根，即，。当时，设的两根，，，列表如下：（，）（，）（，）+0－0+极大极小此函数当时取极大值极大值为 （2）令得 故当时，取极大值 5（3）设切点 P（，），曲线过 P 点的切线斜率为切线方程为：由切线过原点 O（0，0），故 把代入切线方程，得切线方程为（答题时间：30 分钟）一. 选择题：1. 设为的极值点，则（ ）A. B.不存在 C. 或不存在 D. 存在但可能不为 02. 下列命题正确的是（ ）A. 极大值比极小值大B. 极小值不一定比极大值小 3. 三次函数当时有极大值 4，当时有极小值 0，且函数过原点，则该函数是（ ）A. B. C. D. 二. 填空题：4. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则 的取值范围是 。5. 若函数与的图象有 3 个交点，则 的范围是 。[参考答案]一. 1. C 2. B 3. B提示：设，则 二. 4.（，）提示： ， 5.（，2） 提示： 故
