环的定义及性质VIP免费

1/20第三章环与域主要内容:环的定义与性质无零因子环的特征数子环、理想子环与商环环的同态基本定理极大理想2/20第11节环的定义及性质主要内容:环的定义与性质零因子特殊的环(整环/除环/域)3/20环的定义定义1设(R,+,·)是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:(1)(R,+)构成交换群;(2)(R,·)构成半群;(3)·运算关于+运算满足左、右分配律;则称(R,+,·)是一个环.通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0，乘法单位元(如果存在)记作1.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.4/20定义2称环(R,+,·)是有限环，如果R是有限非空集合.定义3设(R,+,·)是环，(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环或可换环.(2)若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环.环的定义5/20环的实例例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn＝{[0],[1],...,[n－1]}，和分别表示模n的加法和乘法，则(Zn,,)构成环，称为模n同余类环.6/20性质1设(R,+,·)是环，则(1)a∈R，a0=0a=0；(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab；(3)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca；(4)a1,a2,...,an，b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2).babajnimjimjjnii1111)()(环的运算性质7/20性质1设(R,+,·)是环，则(1)a∈R，a0=0a=0；(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=(ab)=ab；环的运算性质证(1)a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得a0=0.同理可证0a=0.(2)a,b∈R，有(a)b+ab=(a+a)b=0b=0ab+(a)b=(a+(a))b=0b=0(a)b是ab的负元.由负元惟一性(a)b=ab.同理a(b)=ab.8/20nijijniibaba11)(mjjimjjibaba11)(nimjjinimjjimjjniibababa111111)())((同理可证,b1,b2,...,bm有(4)证明思路：用归纳法证明a1,a2,...,an有于是证明(4)性质1设(R,+,·)是环，则(4)a1,a2,...,an，b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2).babajnimjimjjnii1111)()(9/20实例例2在环中计算(a+b)3,(ab)2.解:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b210/20问题初等代数中：ab=0a=0或b=0n≠0，na=0a=0环中：ab=0a=0或b=0?n≠0，na=0a=0?11/20零因子定义4设(R,+,·)是环，a∈R，a≠0。如果存在一个元b∈R，b≠0，使得ab=0，则称a是R的一个左零因子.如果存在一个元c∈R，c≠0，使得ca=0，则称a是R的一个右零因子.如果a既是R的左零因子，又是R的右零因子，则称a是R的零因子.显然，若R有左零因子，则R必有右零因子.12/20特殊的环定义5设(R,+,·)是环，若a,b∈R，ab=0a=0或b=0，则称R是无零因子环.或若a,b∈R，a≠0，b≠0ab≠0，则称R是无零因子环.或没有左零因子，也没有右零因子的环称为无零因子环.13/20特殊的环定义6设(R,+,·)是环，(1)若R是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环.(2)如果R满足以下两个条件：1)R中至少含有两个元素(或R中至少含有一个非零元素)；2)非零元素的全体对乘法构成一个群.则称R是除环或体.(3)可换体称为域.显然，除环和域是无零因子环.14/20例3(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环.除了整数环以外都是域.(2)令2Z={2z|zZ}∈，则(2Z,+,·)构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)(Z6,,)构成环，它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环.[2][3]=[3][2]=[...