第 25 章 九点圆定理九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆．如图 25-1，设ABC△三条高 AD ， BE ， CF 的垂足分别为D 、 E 、 F ，三边 BC 、 CA 、 AB 的中点分别为 L 、 M 、 N ，又 AH 、 BH 、 CH 的中点分别为P 、Q 、 R ，则 D 、 E 、 F 、 L 、 M 、 N 、 P 、O 、 R 九点共圆．HOQLRNMPFEDCBA图25-1证 法1 联 结 PQ ， QL ， LM， MP ， 则12L MB AQ P∥∥， 即 知 L M P Q为 平 行 四 边 形 ， 又LQCHABLM∥∥，知 LMPQ 为矩形．从而L 、 M 、 P 、 Q 四点共圆，且圆心V 为 PL 与 QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L 、 M 、 N 、 P 、 Q 、 R 六点共圆，且PL ， QM ， NR 均为这个圆的直径．由90PDLQEMRFN=，知 D ， E ， F 三点也在这个圆上，故 D 、 E 、F 、 L 、 M 、 N 、 P 、Q 、 R 九点共圆．证法 2 如图 25-1，由11801802NQDBQDBHD ，以及注意到DE 是N 与R 的公共弦，知NRDE，有12NRDDREC，亦即180NRDEHD，从而知360180NQDNRDBHDEHD．因此， N 、 Q 、 D 、 R 四点共圆．同理， Q 、 L 、 D 、 R 四点共圆．即知N 、 Q 、 L 、 D 、 R 五点共圆．同理， L 、 D 、 R 、 M 、 E 以及 R 、 M 、 E 、 P 、 F ； E 、 P 、 F 、 N 、 Q ； F 、 N 、 Q 、 L 、 D分别五点共圆．故 D 、 E 、 F 、 L 、 M 、 N 、 P 、 Q 、 R 九点共圆．证法 3 如图 25-1．联结 PL 、PN 、PQ 、PF 、LQ 、LF 、QN 、FL ，则90PDL．注意到 PNBH∥，NLAC∥， BEAC ，则 PNNL ，即90PNL．又 PQAB∥， QLCH∥，而 CHAB ，则 QLPQ ，即90PQL．注意到 PFPH ，则PFHPHFCHD==．由 LFLC ，有CFLHCD=．因90CHDHCD =，则90PFLPFHCFL==．同理，PML 、PEL 、PRL 皆等于 90 ．即 D 、 N 、 Q 、 F 、 M 、 E 、 R 各点皆在以PL 为直径的圆周上．故 D 、 E 、 F 、 L 、 M 、 N 、 P 、 Q 、 R 九点共圆．证 法4如 图25-1 ， 注 意 到 LQHR为 平 行 四 边 形 ， QPBA∥，RPCA∥， 则 么180180QLRQHRAQPR==-，即知 L 、 Q 、 P 、 R 四点共圆．又180180QDRQDHRDHQHDRHDQHRA...
