第 15 讲 :极 点 与极 线的性质 125 第 15 讲 :极 点 与极 线的性质 极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义:已知曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,则称点P(x0,y0)和直线l:ax0x+b200yxxy+cy0y+d20xx +e20yy +f=0 是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极 原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点P、Q 关于曲线G 的极线方程分别为p:axpx+b2yxxypp+cypy+d2pxx +e2pyy +f=0,q:axQx+b2yxxyQQ +cyQy+d2Qxx +e2Qyy +f=0,则点P 的极线通过点Q axpxQ+b2QpQpyxxy+cypyQ+d2pQxx+e2pQyy+f=0 点P(xp,yp)在直线q:axQx+b2yxxyQQ +cyQy+d2Qxx +e2Qyy +f=0 上 点Q 的极线也通过点P. 推论 1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点A、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A、B,由配极原则知点A、B 的极线均过点P,即点P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论 2(共点 共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A、B 的极线均过点P,即点A、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论 3(中点 性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦 AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦 AB 的中...
