平 面 向 量 旋 转 的 畅 想我们所处的世界是飞旋的世界．旋转变换问题在我们的生产、生活中，在科学技术研究中累见不鲜，在中学数学教学中更是无法回避．但《高中数学教学大纲》的几次调整将解决旋转变换问题的知识工具，如坐标轴的旋转、极坐标、复数乘除法的几何意义等悉数删除．或许课程编制者们也发现了这个问题，在本次新课改时，于人教版《数学· 必修4》习题 2.5 中给出了一个向量旋转的坐标公式．虽然只是惊鸿一瞥，却引起了人们无限的遐思．1 平面向量旋转的几个结论定理 1 对任意平面向量ABuuur=,x y ，把 ABuuur绕其起点 A沿逆时针方向旋转角，得到向量APuuur，则向量 APuuur=cossin ,sincosxyxy．证明 ：如图 1-1，有向线段ACuuur的方向与 x 轴的正向相同，设以ACAB为始边以为终边的角为，ABuuur，有,cos ,sinABx yuuur，则APuuur=cos, sin=cos cossin sin , sincoscos sincossin , sincosxyxy．图 1-1 注： 定理中，若沿顺时针方向旋转角，则角为负角．该定理证明方法不是唯一的，此处所选证明方法是以学生已有认知为基础的．推论 1 对任意平面向量ABuuur=,x y ，把 ABuuur绕其起点 A 沿逆时针方向旋转角，得到向量 APuuur，若点A的坐标为00,xy，则点 P 的坐标为00cossin, sincosxyxxyy．推论 2 对任意平面向量ABuuur=,x y ，若 ABuuur，把 ABuuur绕其起点 A 沿逆时针方向旋转角，再把所得向量的模伸长（或缩短）到得到向量 APuuur，则向量cossin,sincosAPxyxyuuur．推论 3 对任意平面向量ABuuur=,x y ，把 ABuuur绕其起点 A 沿逆时针方向旋转角，得到向量 APuuur，若点A在原点，点 B 的坐标为11,x y，则点 P 的坐标为1111cossin ,sincosxyxy．若学生有复数乘除法的认知基础，则向量旋转有如下结论：定理 2 把向量 ABuuur绕其起点 A 沿逆时针方向旋转角，并将模伸长（或缩短）到原来的倍，则C x y A B P O iAPe ABuuuruuur．若学生有向量外积的认知基础，则向量旋转有如下结论：定理 3 设 kr是所研究的平面的单位法向量，将向量ar逆时针方向旋转角，得到向量br, 则向量cossinbakarrrr．若学生有矩阵的认知基础，则向量旋转有如下结论：定理 4 对任意平面向量ABuuur=,x y ，把 ABuuur绕其起点 A 沿逆时针方向旋转角，得到向量APuuur，且向量 APuuur=,x y，则cossinsincosxxyy．2 平面向量旋转的本质特征及应用（1）旋转点的追踪...
