下载后可任意编辑2024 年国家集训队平面几何讲义1．一圆切于两条平行线，第二个圆切于，外切于，第三个圆切于，外切于，外切于，交于，求证是的外心。（35 届 IMO 预选题）证明 由∥，知，从而有，即三 点 共 线 。 同 理 由∥， 可 得三 点 共 线 。 又 因 为， 所 以四 点 共 圆 ，，即点在与的根轴上。又因为在与的根轴上，所以是与的根轴。同理是与的根轴，因此为根心，且有，即是的外心。2．非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，分别交圆于， 中的角平分线分别交于点，证明（1）是的角平分线；（2）假如是和的两个外接圆的交点，则点在直线上。（01 年保加利亚）证 明 （ 1 ） 因 为∽，∽， 所 以 有1下载后可任意编辑，从而有，即是的角平分线。（ 2 ） 设的 外 心 为， 连， 则。 由 于，所 以， 于 是 有，即与相切于。同理与的外接圆相切于，从而在与的外接圆的根轴上，即三点共线。3．已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05 年日本）2下载后可任意编辑证明 因为是调和点列，且，所以在关于点的阿波罗尼斯圆上。连，有。设的外接圆与交于点，则有，即在的中垂线上，从而有，因此四点共圆。4．若到的三个顶点的距离的比都是，且互不相等，则直线过的外接圆的一条直径。若设的外接圆圆心为，则。证明 法一：由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上，其中与的交点为，且为调和点列。设与交于点，则，因此与相切于点，于是也与相切于点。3下载后可任意编辑同理，由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上，设与交于点，于是与相切于点。因为，所以在与的 根 轴 上 ， 从 而 有三 点 共 线 。 设与交 于 点， 则，即为调和点列。法二 由于，则的外接圆就是关于点的阿波罗尼斯圆，从而在直线上，且有。5．已知圆心分别为的圆外切于点，并内切于圆，切点分别为，过点作的公切线 。设圆的直径垂直于 ，使得在 的同侧，证明三线交于一点。（第 47 届 IMO 预选题）证明 设的中点为，为圆与圆的位似中心，由于半径分别垂直于 ，所以∥，且有三点共线。同理三点共线。设交于点，由于，所以是的垂心，于是，这表明在直线 上。设与直线 交于点，下面证明点在直线上。设与圆的第二个交点为，则是圆的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证三点共线，只要证4下...
