下载后可任意编辑2024 年国家集训队平面几何讲义1．一圆切于两条平行线，第二个圆切于，外切于，第三个圆切于，外切于，外切于，交于，求证是的外心
（35 届 IMO 预选题）证明 由∥，知，从而有，即三 点 共 线
同 理 由∥， 可 得三 点 共 线
又 因 为， 所 以四 点 共 圆 ，，即点在与的根轴上
又因为在与的根轴上，所以是与的根轴
同理是与的根轴，因此为根心，且有，即是的外心
2．非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，分别交圆于， 中的角平分线分别交于点，证明（1）是的角平分线；（2）假如是和的两个外接圆的交点，则点在直线上
（01 年保加利亚）证 明 （ 1 ） 因 为∽，∽， 所 以 有1下载后可任意编辑，从而有，即是的角平分线
（ 2 ） 设的 外 心 为， 连， 则
由 于，所 以， 于 是 有，即与相切于
同理与的外接圆相切于，从而在与的外接圆的根轴上，即三点共线
3．已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆
（05 年日本）2下载后可任意编辑证明 因为是调和点列，且，所以在关于点的阿波罗尼斯圆上
设的外接圆与交于点，则有，即在的中垂线上，从而有，因此四点共圆
4．若到的三个顶点的距离的比都是，且互不相等，则直线过的外接圆的一条直径
若设的外接圆圆心为，则
证明 法一：由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上，其中与的交点为，且为调和点列
设与交于点，则，因此与相切于点，于是也与相切于点
3下载后可任意编辑同理，由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上，设与交于点，于是与相切于点
因为，所以在与的 根 轴 上 ， 从 而 有三 点 共 线
设与交 于 点， 则，即为调和点列
法二 由于，则的外接圆就是关于点的阿波罗尼斯圆，从而在直线上，且有
